Рівняння нерозривності руху рідини в диференціальній формі

Виведемо рівняння нерозривності стисливої рідини або газу в умовах тривимірного руху. Для виводу, як і раніше використаємо закон збереження маси.

Виділимо у потоці рухомої рідини елементарний паралелепіпед зі сторонами dx, dy, dz (див рис.7.1) і розглянемо картину протікання рідини через усі його грані.

Рис.7.1. Елементарний паралелепіпед.

Позначимо швидкість в т.А через u, а її компоненти через u_x, u_y, u_z. Компоненти швидкості в т.М будуть u_x+du_x, u_y+du_y, u_z+du_z.

У напрямку осі Ox через ліву грань в паралелепіпед впливає маса рідини ru_xdydzdt. У зв’язку з безперервною зміною маси і швидкості на виході через праву грань швидкість рідини буде , а її питома маса (густина) . Тому маса рідини, що випливає через праву грань, перпендикулярну осі Ox, становитиме

.

Приріст маси в паралелепіпеді у напрямку осі Ox становитиме .

Аналогічні вирази отримаємо і для напрямків Oy і Oz, а саме:

Отже, повний приріст маси рідини в паралелепіпеді

. (7.1)

Крім того, якщо у початковий момент часу маса рідини в паралелепіпеді була rdxdydz, то через час dt вона зміниться до значення

.

Звідси приріст маси рідини в паралелепіпеді за даний проміжок часу становитиме

. (7.2)

Прирівнюючи приріст маси відповідно до (7.1) і (7.2) після скорочення на dxdydzdt і перенесення всіх членів у ліву частину, отримуємо

. (7.3)

Це і є диференціальне рівняння нерозривності руху стисливої рідини або газу.

Для нестисливої рідини r=const, і тоді (7.3) набуває вигляду

. (7.4)

Цю суму частинних похідних називають кубічним розширенням рідини, дивергенцією або розходженням вектора швидкості (), тобто

. (7.5)

З урахуванням рівнянь (7.4) або (7.5) можна твердити, що умова збереження маси вимагає щоби швидкість об’ємної деформації при русі нестисливої рідини дорівнювала нулю.

Рівняння (7.3) відображає властивість нестисливої рідини при тривимірному русі. Тому його деколи називають диференціальним рівнянням нестисливої однорідної рідини, що знаходиться в стані руху.

Дата добавления: 2014-01-07