Чисельний розв’язок нелінійного рівняння

План

Тема: Розв’язок рівнянь засобами Mathcad

Лекція № 11

1. Чисельний розв’язок нелінійного рівняння

2. Відсутність збіжності функції root

3. Рекомендації з використання функції root

4. Знаходження коренів полінома

5. Розв’язок систем рівнянь

6. Розв’язок матричних рівнянь

7. Наближені розв’язки

8. Символьний розв’язок рівнянь

Як відомо, багато рівнянь і системи рівнянь не мають аналітичних розв’язків. У першу чергу це відноситься до більшості трансцендентних рівнянь. Доведено також, що не можна побудувати формулу, по якій можна було б розв’язати довільне алгебраїчне рівняння ступеня вище четвертого. Однак такі рівняння можуть розв’язуватись чисельними методами з заданою точністю (не більш значення заданого системної змінної TOL ).

Для найпростіших рівнянь виду f (x) = 0 розв’язок в Mathcad знаходиться за допомогою функції root (Рисунок 5).

root(f (х 1, x 2, …), х 1, a, b)

Повертає значення х 1, що належить відрізку [ a, b ], при якому вираз чи функція f (х) обертається в 0. Обидва аргументи цієї функції повинні бути скалярами. Функція повертає скаляр.

Аргументи:

f (х 1, x 2, …) -функція чи вираз, визначена де-небудь у робочому документі,. Вираз повинен повертати скалярні значення.

х 1 -- ім'я змінної, котра використовується у виразі. Цій змінній перед використанням функції root необхідно присвоїти числове значення. Mathcad використовує його як початкове наближення при пошуку кореня.

a, b – необов'язкові, якщо використовуються, то повинні бути дійсними числами, причому a < b.

Наближені значення коренів (початкові наближення) можуть бути:

Рисунок 5. Розв’язок рівнянь засобами Mathcad

1. Відомі з фізичного змісту задачі.

2. Відомі з розв’язку аналогічної задачі при інших вихідних даних.

3. Знайдені графічним способом.

Найбільш розповсюджений графічний спосіб визначення початкових наближень. Беручи до уваги, що дійсні корені рівняння f (x) = 0 - це точки перетинання графіка функції f (x) з віссю абсцис, досить побудувати графік функції f (x) і відзначити точки перетинання f (x) з віссю Ох, чи відзначити на осі Ох відрізки, що містять по одному кореню. Побудову графіків часто вдається сильно спростити, замінивши рівняння f (x) = 0 рівносильним йому рівнянням: , де функції f ₁(x) і f ₂(x) - більш прості, ніж функція f (x). Тоді, побудувавши графіки функцій у = f ₁(x) і в = f ₂(x), шукані корені одержимо як абсциси точок перетину цих графіків.

Приклад. Графічно відокремити корені рівняння:

x lg x = 1. (1)

 

Рівняння (1) зручно переписати у виді рівності:

lg x=.

Звідси ясно, що корені рівняння (1) можуть бути знайдені як абсциси точок перетинання логарифмічної кривої y = lg x і гіперболи y = . Побудувавши ці криві, приблизно знайдемо єдиний корінь рівняння (1) чи визначимо відрізок, що містить його.

Дата добавления: 2014-01-07