Теоретичне порівняння оцінок

Усі три оцінки незсунені, що можна перевірити методами теорії імовірностей. Обчислимо дисперсії оцінок:

Dâ₁ = D() = ,

Dâ₂ = D( max x_i) = ,

Dâ₃ = D(x_(k) + x_(k+1))»,

Звідси випливає, що â ₂ — найбільш точна оцінка, а â ₃ — найменш.

Пояснимо наведені формули для дисперсій.

Перша:

Dâ₁ = = = = .

Друга. Визначимо функцію розподілу статистики max x_i:

F(z) º P { max x_i < z } = P { x₁ < z,..., x_n < z } = = ;

щільність розподілу

p(z) = F¢(z) = , zÎ [0, a ].

Далі

Mâ ₂ = M( max x_i) = = ,

Mâ₂² = M=,

Dâ₂ = Mâ₂² — (Mâ₂₎²= _.

Третя. Використовуємо теорему Крамера, відповідно до якої вибіркова p - квантиль має дисперсію, рівну приблизно , де x_p — p -квантиль, f(x) - щільність розподілу спостережень вибірки. У нашому випадку (при n = 2k) статистика 0.5 (x_(k) +x _(k+1) ) º m є вибірковою медіаною (p = 0.5), f(x_0.5) = 1/a, â₃ = 2m, і тому

Dâ₃=Dm = =.

Дата добавления: 2014-01-07