КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Интегральная функция распределенияНепрерывные случайные величины. Лекция 22.03.2013 Распределение Пуассона Пусть проводится серия n независимых испытаний. (n1, n2 …) Причём вероятность появления данного события А в этой серии равно Р(А) = рn > 0. Эта вероятность зависит от номера и стремится к нулю при n -> ∞. (Последовательность «редких событий»). Предположим, что для каждой серии среднее значение числа появлений события А постоянно, т.е. произведение n* рn = const = µ, отсюда рn = µ/n. На основании ф-лы Бернулли для вероятности появления события А n-ной серии ровно m раз имеет место формула: Рn(m) = Сnm* рnm*qn-m = Сnm* рnm*(1-рn)n-m. Закрепим m (зафиксируем). Переменная остаётся только n. Перейдём к пределу формулы: Lim (Сnm* рnm*(1-рn)n-m), n -> ∞ = Lim (Сnm* рnm)*Lim(*(1-рn)n-m), n -> ∞ lim (Сnm* (µ/n)m = lim (Аnm/Pn*(µ/n)m = lim (n*(n-1)*… *(n- (m-1)) *µm /(m*nm )= = lim (1(1-1/n)(1-2/n)…(1-(m-1)/n) = µm/m! Lim(*(1-рn)n-m) = lim {[(1-µ/n) -n/µ]- µ (1- µ/n)-m} = e- µ*1 = e- µ В итоге: Lim (Сnm* рnm*(1-рn)n-m) = µm e- µ/m! Рn(m) = µm e- µ/m! Def: Говорят, что случайная величина Х распределена по закону Пуассона, если эта величина задана таблицей:
Найдём сумму вероятностей данной таблицы: e- µ + µ e- µ + µ2(e- µ)/2! + … = e- µ (1+ µ + µ2/2!+…) = e- µ* eµ = 1 Найдём математическое ожидание дискретной случайной величины Х, распределённой по закону Пуассона: Согласно определению математического ожидания, для случая бесконечного числа возможных значений случайной величины имеем: М(Х) = (k µk e- µ /k!) = µ* e- µ µk-1/(k-1)! Это ряд типа: 1 + µ2/2! + µ3/3! + …. = eµ, значит, выражение имеет вид: µ* e- µ eµ = µ. Аналогично доказывается, что дисперсия случайной величины, распределённой по закону Пуассона, т.е D(X) = µ. Итак, М(Х) = D(X) = µ для д.с.в., распр. По закону Пуассона.
Задача (Редкие болезни) Многие болезни достаточно редки, или становятся таковыми после принятия профилактических лечебных мер. Однако, даже при самых благоприятных условиях, в больших популяциях всё же встречается некоторое число больных редкими болезнями, например: при введении вакцины против Полиомиелита иммунитет становится 99,99% случаев. Какова вероятность того, что из 10000 вакцинированных детей заболеет один? Рn(m) = µm e- µ/m! Р10000 (1) = e- 1 ≈ 0, 368 Р = 1 – 0.9999 n = 10000 Р*n = µ: 0.0001*10000 = 1 = µ Какова вероятность для двоих? Р10000 (2) = 12* e- 1 /2! ≈ 0.184 Какова вероятность для троих? Р10000 (2) = 13* e- 1 /3! ≈ 0.061
Для непрерывных случайных величин, в отличие от дискретных, нельзя построить таблицу распределения. Поэтому они изучаются другим способом. Пусть Х – непрерывная случайная величина с возможными значениями из некоторого интервала [a;b], х – действительное число. Под выражением: Х < x понимается событие «Случайная величина Х приняла значение, меньшее х». Вероятность этого события обозначается: Р(Х<x) и это есть некоторая функция переменной х: F(x) = Р(Х<x). Def: Интегральной функцией распределения, или функцией распределения, непрерывной случайной величины Х называется функция F(x), равная вероятности того, что Х приняло значение, меньшее х: F(X<x). Отметим, что функция распределения совершенно так же определяется и для дискретных случайных величин. Укажем на свойства, которыми обладает функция F(x): 1) 0 ≤ F(x) ≤ 1 (Т.к. F(x) – вероятность) 2) F(x) – неубывающая функция, т.е. если х1 < x2, то F(x1) ≤ F(x2) Доказательство: Предположим, что х1 > x2 Событие «Х примет значение, меньшее х2» можно представить в виде суммы двух несовместимых событий: «Х примет значение, меньшее х1» и «Х примет значение, удовлетворяющее двойному неравенству: х1 ≤ Х ≤ х2». Обозначим Вероятности двух этих событий соответственно через: Р(Х<x1) и Р(х1 ≤ Х ≤ х2). По теореме «о вероятности суммы двух несовместимых событий», имеем: Р(Х<x2) = Р(Х<x1) + Р(х1 ≤ Х ≤ х2), отсюда: Р(х1 ≤ Х ≤ х2) = Р(Х<x2) - Р(Х<x1) или: Р(х1 ≤ Х ≤ х2) = F(x2) – F(x1) учитывая, что вероятность не отрицательна, получаем: F(x2) – F(x1) ≥ 0, Что и приводит к заключению свойства. (Ч.т.д) Из этого свойства вытекает следующее: 3) Вероятность попадания случайной величины Х в полуинтервал [a;b) равна разности между значениями функции распределения в правом и левом концах интервала [a;b). Т.е. Р(а≤Х≤b) = F(b) – F(a) В частности, для полуинтервала [x; x+dx): Р(x ≤ X ≤ x+dx) = F(x+dx) – F(x). В дальнейшем случайную величину будем называть непрерывной, если её функция распределения непрерывна с непрерывной или кусочно-непрерывной производной. 4) Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет какое-либо заранее заданное значение равняется нулю, т.е. Р(Х = х1) = 0, где х1 – произвольное, фиксированное. В силу равенства: Р(x ≤ X ≤ x+dx) = F(x+dx) – F(x) (см. св-во 3) имеем: Р(х1≤Х≤х1+dx) = F(х1+dx) – F(x1). Поскольку функция F(x) непрерывная, то, перейдя к пределу при dx -> 0, получаем искомое равенство: 0 = Р(Х = х1). Из последнего свойства вытекает пятое: 5) Вероятности попадания непрерывной случайной величины в интервал, отрезок и полусегмент (полуинтервал) с одними и теми же концами – равны: Р(a < Х < b) = Р(a ≤ Х ≤ b) = Р(a ≤ Х < b) = Р(a < Х ≤ b) 6) Если возможное значение случайной величины Х принадлежат интервалу [a;b], то: а) F(x) = 0 для x ≤ a б) для x ≥ b F(x) = 1. Доказательство: а) Пусть х1≤ a. Тогда событие Х<x1 невозможно, значит, вероятность равна 0. б) Пусть x2 ≥ b – это достоверное событие, - вероятность 1. (Ч.т.д). Следствие: Если возможные значения непрерывной случайной величины распределены на всей числовой оси, то справедливы следующие предельные соотношения: F(-∞) = lim (F(x)), (при х -> - ∞) = 0 F(+∞) = lim (F(x)), (при х -> +∞) = 1 Семинар: Задача 1) Х задана ф-ей: F(x) = { 0, при x ≤ -1; х/4+ ¼ при х от -1 до 3, и 1, при х > 3. Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, принадлежащее полуинтервалу: [0; 2). Р(0 ≤ X < 2) = F(2) – F(0) = ½ - 0 = ½ Задача 2) Пусть с.в. Х – число очков, выпавших при однократном бросании кости. Найти закон распределения с.в. Х.
Дата добавления: 2014-01-06; Просмотров: 746; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |