При наличии перепада температур тела изменяют свои размеры, причем прямо пропорционально этому перепаду температур

Пусть имеется перепад температур. Тогда этот закон имеет вид:

Здесь α - коэффициент линейного температурного расширения, l - длина стержня, Δ l- его удлинение.

4) Закон ползучести.

Исследования показали, что все материалы сильно неоднородны в малом. Схематическое строение стали изображено на рис.8.2.

Рис.8.2.

Некоторые из составляющих обладают свойствами жидкости, поэтому многие материалы под нагрузкой с течением времени получает дополнительное удлинение (рис.8.3.) (металлы при высоких температурах, бетон, дерево, пластики – при обычных температурах). Это явление называется ползучестью материала.

Рис.8.3.

Для жидкости справедлив закон: чем больше сила, тем больше скорость движения тела в жидкости. Если это соотношение линейно (т.е. сила пропорциональна скорости), то можно записать его в виде:

Если перейти к относительным силам и относительным удлинениям, то получим

Здесь индекс «cr» означает, что рассматривается та часть удлинения, которая вызвана ползучестью материала. Механическая характеристика называется коэффициентом вязкости.

5) Закон сохранения энергии.

Рассмотрим нагруженный брус

Рис.8.4.

Введем понятие перемещения точки, например,

- вертикальное перемещение точки В;

- горизонтальное смещение точки С.

Силы при этом совершают некоторую работу U. Учитывая, что силы начинают возрастать постепенно и предполагая, что возрастают они пропорционально перемещениям, получим:

.

Согласно закону сохранения: никакая работа не исчезает, она тратится на совершение другой работы или переходит в другую энергию (энергия – это работа, которую может совершить тело.).

Работа сил , тратится на преодоление сопротивления упругих сил, возникающих в нашем теле. Чтобы подсчитать эту работу учтем, что тело можно считать состоящим из малых упругих частиц. Рассмотрим одну из них:

Рис.8.5.

Со стороны соседних частиц на него действует напряжение . Равнодействующая напряжений будет

Под действием частица удлинится. Согласно определению относительное удлинение это удлинение на единицу длины. Тогда:

Вычислим работу dW, которую совершает сила dN (здесь также учитывается, что силы dN начинают возрастать постепенно и возрастают они пропорциональны перемещениям):

Для всего тела получим:

.

Работа W, которую совершило , называют энергией упругой деформации.

Согласно закону сохранения энергии:

6) Принцип возможных перемещений.

Это один из вариантов записизакона сохранения энергии.

Пусть на брус действуют силы F₁, F₂, …. Они вызывают в теле перемещения точки и напряжения . Дадим телу дополнительные малые возможные перемещения . В механике запись вида означает фразу «возможное значение величины а». Эти возможные перемещения вызовут в теле дополнительные возможные деформации . Они приведут к появлению дополнительных внешних сил и напряжений , δs.

Вычислим работу внешних сил на дополнительных возможных малых перемещениях:

Рис.8.6.

Здесь - дополнительные перемещения тех точек, в которых приложены силы F₁, F₂, …

Рассмотрим снова малый элемент с поперечным сечением dA и длиной dz (см. рис.8.5. и 8.6.). Согласно определению дополнительное удлинение D dz этого элемента вычисляется по формуле:

D dz = de dz.

Сила растяжения элемента будет:

dN = (s+δs) dA ≈ s dA..

Работа внутренних сил на дополнительных перемещениях вычисляется для малого элемента следующим образом:

dW = dN D dz = s dA de dz = s de dV

Суммируя энергию деформации всех малых элементов получим полную энергию деформации:

Закон сохранения энергии W = U дает:

.

Это соотношение и называется принципом возможных перемещений (его называют также принципом виртуальных перемещений). Аналогично можно рассмотреть случай, когда действуют еще и касательные напряжения. Тогда можно получить, что к энергии деформации W добавится следующее слагаемое:

Здесь t - касательное напряжение, g -сдвиг малого элемента. Тогда принцип возможных перемещений примет вид:

В отличие от предыдущей формы записи закона сохранения энергии здесь нет предположения о том, что силы начинают возрастать постепенно, и возрастают они пропорционально перемещениям

7) Эффект Пуассона.

Рассмотрим картину удлинения образца:

Рис.8.7

Явление укорочения элемента тела поперек направления удлинения называется эффектом Пуассона.

Найдем продольную относительную деформацию.

Поперечная относительная деформация будет:

Коэффициентом Пуассона называется величина:

Для изотропных материалов (сталь, чугун, бетон) коэффициент Пуассона

Это означает, что в поперечном направлении деформация меньше продольной.

Примечание: современные технологии могут создать композиционные материалы, у которых коэффициент Пуассон >1, то есть поперечная деформация будет больше, чем продольная. Например, это имеет место для материала, армированного жесткими волокнами под малым углом <<1 (см. рис.8.8.). Оказывается, что коэффициент Пуассона при этом почти пропорционален величине , т.е. чем меньше , тем больше коэффициент Пуассона.

Рис.8.8. Рис.8.9

Еще более удивительным является материал, приведенный на (рис.8.9.), причем для такого армирования имеет место парадоксальный результат – продольное удлинение ведет к увеличению размеров тела и в поперечном направлении.

8) Обобщенный закон Гука.

Рассмотрим элемент, который растягивается в продольном и поперечном направлениях. Найдем деформацию, возникающую в этих направлениях.

Вычислим деформацию , возникающую от действия :

Рассмотрим деформацию от действия , которая возникает в результате эффекта Пуассона:

Общая деформация будет:

Если действует и , то добавиться еще одно укорочение в направлении оси x .

Следовательно:

Аналогично:

Эти соотношения называются обобщенным законом Гука.

Интересно, что при записи закона Гука делается предположение о независимости деформаций удлинения от деформаций сдвига (о независимости от касательных напряжений, что одно и то же) и наоборот. Эксперименты хорошо подтверждают эти предположения. Забегая вперед, отметим, что прочность напротив сильно зависит от сочетания касательных и нормальных напряжений.

Примечание: Приведенные выше законы и предположения подтверждаются многочисленными прямыми и косвенными экспериментами, но, как и все другие законы, имеют ограниченную область применимости.

Дата добавления: 2014-01-07