Теорема Гаусса для вектора индукции магнитного поля

Циркуляция вектора магнитной индукции.

На рис.9.1. изображен прямой ток, направленный за плоскость чертежа. Охватим этот ток круговым контуром L, лежащим в плоскости чертежа. В каждой точке контура вектор направлен по касательной к нему (т.е. контур совпадает с силовой линией магнитного поля). Вычислим интеграл по замкнутому контуру который называется циркуляцией вектора индукции . В данном случае произведение

.

Интегрирование по всему круговому контуру приводит к следующему результату

.

Можно показать, что полученный результат не изменится, если ток охватывается произвольным контуром, не обязательно лежащим в плоскости чертежа. Эта формула справедлива также и для тока, текущего по проводнику произвольной формы. В силу принципа суперпозиции, если контур охватывает несколько (n) токов, то

. (9.1)

т.е. циркуляция вектора вдоль замкнутого контура L равна алгебраической сумме токов, охватываемых контуром, умноженной на ₀. Токи считаются положительными, если их направление совпадает с поступательным движением правого буравчика, рукоятка которого вращается по направлению обхода контура, рис.8.6. Токи, текущие в обратном направлении, считаются отрицательными.

Последнее соотношение можно также переписать в виде

, (9.2)

где j_n – проекция вектора плотности тока на направление нормали к площадке dS, S – площадь поверхности, охватываемой контуром.

Для вектора индукции магнитного поля, пронизывающего площадку dS, магнитный поток dФ_В определяется аналогично потоку dФ_Е вектора напряженности электрического поля (см. п. 2.1)

. (9.3)

где , - нормаль к площадке dS.

Магнитный поток в СИ измеряется в веберах (Вб): 1Вб = 1 Тл 1 м². Поток магнитной индукции в 1Вб – это поток, пронизывающий площадку в 1 м ², расположенную перпендикулярно силовым линиям однородного магнитного поля, индукция которого равна 1Тл.

Опыт показывает, силовые линии магнитного поля всегда замкнуты сами на себя. Это говорит о том, что в природе «магнитных зарядов» не существует. Поэтому, если взять произвольную замкнутую поверхность, то число силовых линий вектора , входящих в эту поверхность, всегда равно числу линий, выходящих через поверхность. Следовательно,

.

Это и есть теорема Гаусса для вектора индукции магнитного поля.

Произведем сопоставление свойств электростатического и магнитного полей.

	Электростатическое поле	Магнитное поле
Поток через замкнутую поверхность (теорема Остроградского-Гаусса)
Циркуляция

Поля, для которых циркуляция не равна нулю, например, магнитное поле, называются вихревыми или соленоидальными. Напомним, что электростатическое поле является примером потенциального поля.

Дата добавления: 2014-01-07