Операции над вещественными числами

1. Сложение и умножение вещественных чисел.

Для любой пары вещественных чисел a и b определены единственным образом два вещественных числа a+b и a·b, называемые, соответственно, их суммой и произведением.

Свойства операции "+" и "·".

1^⁰ Коммутативное свойство: a+b=b+a

a·b=b·a

2^⁰ Ассоциативное свойство: a+(b+c)=(a+b)+c

a·(b·c)=(a·b)·c

3^⁰ Дистрибутивное свойство: (a+b)·c=a·c+b·c

c·(a+b)=c·a+c·b

4^⁰ единственное 0∈ℝ: a+0=0+a=a ∀a∈ℝ

5^⁰ ∀a∈ℝ –a∈ℝ: a+(–a)=(–a)+a=0

6^⁰ единственная 1 0: ∀∈ℝ: a·1=1·a=a

7^⁰ ∀ 0 a∈ℝ a^‐1∈ℝ: a· a^‐1= a^‐1·a=1, a^‐1= .

2. Сложение вещественных чисел.

Для любых a, b∈ℝ установлено одно из трёх соотношений:

a=b, a > b или a < b.

1^⁰ Если a > b и b > c, то a > c

2^⁰ Если a > b, то a+b > b+c

3^⁰ Если a > 0, b > 0, то a·b > 0

Число a∈ℝ, удовлетворяющее неравенству a > 0 называется положительным, а число a, удовлетворяющее неравенству a < 0 – отрицательным.

3. Абсолютная величина числа.

Определение. Абсолютной величиной или модулем числа x∈ℝ называется само число x, если x < 0, или число ‐ x, если x < 0. Обозначается: .

Таким образом =

Свойства модуля:

1^⁰ ≥ 0.

2^⁰ = .

Доказательство: Если , то . Тогда . Если , то и .

3^⁰ .

Теорема 3:

.

Теорема 4:

Замечание:

1)

2)

3) , если

Дата добавления: 2014-01-07