Свойства сходящихся последовательностей

1. Если все элементы бесконечно малой последовательности { } равны одному и тому же числу с, то с=0.

2. Сходящаяся последовательность имеет только один предел.

3. Сходящаяся последовательность ограничена.

4. Сумма (разность) сходящихся последовательностей { } и { } есть сходящаяся последовательность, предел которой равен сумме (разности) пределов последовательности { } и { }.

5. Произведение сходящихся последовательностей есть сходящаяся последовательность, предел которой равен произведению пределов сомножителей.

6. Частное двух сходящихся последовательностей { } и { } при условии, что есть сходящаяся последовательность, предел которой равен частному пределов последовательностей { } и { }.

7. Если элементы сходящейся последовательности { } удовлетворяет неравенству ≥ ( ≤ ) начиная с некоторого номера, то предел a этой последовательности удовлетворяет неравенству a≥ (a≤ .

Пример. Найти .

Решение.

При n , . Поэтому использовать свойство 6 нельзя. Преобразуем эту последовательность, разделив числитель и знаменатель на :

= = = = .

Пример. Найти .

Решение.

=

Так как -1≤ ≤1, то это ограниченная последовательность, а - бесконечно малая последовательность, то согласно теореме, - бесконечно малая последовательность.

Значит, = = =0.

Пример. Найти - ).

Решение.

– )= = = = =0.

Дата добавления: 2014-01-07