Метод наименьших квадратов

В данном пункте рассматривается идея основного (для количественных факторов) метода обработки результатов эксперимента с целью получения математического описания объекта – метода наименьших квадратов. Для простоты рассмотрим случай варьирования единственного фактора . Предположим, что эксперимент состоит в постановке опытов, и в этих опытах фактор принимает значения . Здесь значение фактора в опыте номер , . Выходная величина принимает в этих опытах значения соответственно. Отложим по оси абсцисс значения фактора , принимаемые им в опытах, а по оси ординат – соответствующие значения , получим совокупность точек (рис. 3.3). Цель эксперимента – получение регрессионной зависимости , которая с достаточной точностью описывала бы результаты эксперимента.

Рис. 3.3. Пояснение метода наименьших квадратов  

Пусть требуется исследовать зависимость износа режущего инструмента от продолжительности резания. Износ оценивается радиусом затупления режущего лезвия . Тогда точки на рис. 3.3 – это значение , соответствующее разным значениям продолжительности резания. Закономерность изменения износа в зависимости от продолжительности резания получим на графике, если проведем гладкую кривую, лежащую возможно ближе к экспериментальным точкам. Однако на глаз такую кривую можно провести разными способами и, кроме того, помимо графика хотелось бы получить аналитическое представление для исследуемой зависимости. Все это заставляет обратиться к аналитическим методам построения регрессионной модели.

Конкретизируем приведенное выше требование, чтобы экспериментальные точки лежали в совокупности как можно ближе к кривой, являющейся графиком искомой зависимости. Допустим, что аналитическое представление зависимости от уже каким-то образом получено в виде уравнения регрессии . График зависимости – это искомая кривая (рис. 3.3).

Значениям фактора , равные соответствуют точки на кривой . Эти точки являются значениями выходной величины, рассчитанными по уравнению регрессии .

(3.4)

Найдем величину равную (рис. 3.3), которая характеризует отклонение результата эксперимента в точке от значения функции отклика в этой же точке. Аналогично рассмотрим отклонения .

Согласно методу наименьших квадратов (сокращенно МНК), оценки для коэффициентов регрессии отыскиваются из условия минимума суммы квадратов отклонений , т. е.

(3.5)

В настоящее время для статистических расчетов (в общем) и для получения уравнений регрессии (в частности) с помощью персонального компьютера, широко используется специализированный пакет фирмы

Дата добавления: 2014-01-07