Принцип Даламбера

133. ПРИНЦИП ДАЛАМБЕРА ДЛЯ ТОЧКИ И МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ

Методы решения задач механики, которые до сих пор рассматривались, основываются на уравнениях, вытекающих или непосредственно из законов Ньютона, или же из общих теорем, являю следствием этих законов. Однако этот путь не является единственным. Уравнения движения или условия равновесия механической системы можно получить, положив в основу так называемые принципы механики. В этой главе будет рассмотрен один из общих принципов механики, называемый принципом Даламбера.

Найдем сначала выражение принципа для одной материальной точки. Пусть на материальную точку с массой m действует система активных сил, равнодействующую которых обозначим , и реакция связи . Под действием этих сил точка будет двигаться по отношению к инерциальной системе отсчета с некоторым ускорением .

Введем в рассмотрение величину

, (84)

имеющую размерность силы. Векторную величину, равную по модулю произведению массы точки на ее ускорение и направленную противоположно этому ускорению, называют силой инерции точки.

Тогда оказывается, что движение точки обладает следующим свойством: если в любой момент времени к действующим на точку активным силам и реакции связи присоединить силу инерции, то полученная система сил будет уравновешенной, т. е.

. (85)

Это положение выражает принцип Даламбера для материальной точки. Нетрудно убедиться, что оно экви­валентно второму закону Ньютона и наоборот.

Рассмотрим теперь механическую систему, состоящую из n материальных точек. Выделим какую-нибудь из точек системы с массой m_k. Под действием приложенных к ней внешних и внутрен­них сил и (в которые входят и активные силы, и реакции свя­зей) точка будет двигаться по отношению к инерциальной системе отсчета с некоторым ускорением . Введя для этой точки силу инер­ции , получим согласно равенству (85), что

. (85)

т. е. что , и образуют уравновешенную систему сил. Пов­торяя такие рассуждения для каждой из точек системы, придем к следующему результату, выражающему принцип Даламбера для системы: если в любой момент времени к каждой из точек системы кроме действующих на нее внешних и внутренних сил присоединить соответствующие силы инерции, то полученная система сил будет уравновешенной и к ней можно применять все уравнения статики.

Из статики известно, что геометрическая сумма сил, находя­щихся в равновесии, и сумма их моментов относительно любого центра О равны нулю. Тогда на основании принципа Даламбера должно быть:

(86)

Введем обозначения:

(87)

Величины , представляют собою главный вектор и, момент относительно центра О системы сил инерции. В результате учитывая, что геометрическая сумма внутренних сил и моментов равны нулю, получим из равенств (86):

, (88)

Уравнениями (88) особенно удобно пользоваться при изучении движения твердого тела или системы твердых тел. Для полного изучения движения любой изменяемой системы этих уравнений будет недостаточно, так же как недостаточно уравнений статики для изучения равновесия любой механической системы.

134. ГЛАВНЫЙ ВЕКТОР И ГЛАВНЫЙ МОМЕНТ СИЛ ИНЕРЦИИ

Сравнивая первое из равенств (88) с уравнением выражающим теорему о движении центра, найдем, что

(89)

т. е. главный вектор сил инерции механической системы (в частности, твердого тела) равен произведению массы системы (тела) на ускоре­ние центра масс и направлен противоположно этому ускорению. Если ускорение разложить на касательное и нормальное, то вектор разложится на составляющие

. (89')

Сравнив теперь второе из равенств (88) с уравнением выражающим теорему моментов, и учтя, что аналогичным будет соотношение для моментов относительно оси, получим:

и (90)

т.е. главный момент, сил инерции механической системы (твердого тела) относительно некоторого центра О или оси z равен взятой со знаком минус производной по времени от кинетического момента си­стемы (тела) относительно того же центра или той же оси.

Приведение сил инерции твердого тела. Систему сил инерции твердого тела можно заменить одной силой, равной и приложенной в произвольно выбранном центре О, и парой с мо­ментом, равным . Рассмотрим несколько частных случаев.

1. Поступательное движение. В этом случае ус­корения всех точек тела одинаковы и равны ускорению центра масс С тела. Тогда все силы инерции образуют систему параллельных сил, аналогичных силам тяжести , и поэтому, как и силы тяжести, имеют равнодействующую, прохо­дящую через точку С.

Следовательно, при поступательном движении силы инерции твердого тела приводятся к равнодействующей, равной и прохо­дящей через центр масс тела.

2. Вращательное движение. Пусть твердое тело имеет плоскость материальной симметрии Оху и вращается вокруг оси Оz, перпендикулярной этой плоскости (рис. 343, где показано сечение тела плоскостью Оху). Если привести силы инерции к центру О, то вследствие симметрии результирующая сила и пара будут лежать в плоскости Оху и момент пары будет равен . Тогда, так как , то по второй из формул (90)

, (91)

где — угловое ускорение тела.

Следовательно, система сил инерции такого вращающегося приводится к силе , определяемой формулой (89) и приложенной в точке О (рис. 343), и к паре с моментом , определяемым формулой (91), лежащей в плоскости симметрии тела.

3. Вращение вокруг оси, проходящей через центр масс тел. Если тело, вращается вокруг оси Оz, проходящей через центр масс С тела, то = 0, так как =0. Следовательно, в этом случае система сил инерции тела привод к одной только паре с моментом , лежащей в плоскости симметрии тела.

4. Плоскопараллельное движение. Если тело имеет плоскость симметрии и движется параллельно этой плоскости то, очевидно, система сил инерции тела приведется к лежащим в плоскости симметрии силе, равной и приложенной в центре масс С тела, и паре с моментом .

135. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

Задача 155. Решить задачу 107 с помощью принципа Даламбера Решение. Изображаем груз в том положении, для которого надо найти натяжение нити (рис. 344). На груз действуют сила тяжести и реакция нити . Присоединяем к этим силам нормальную и касательную силы инерции и . Полученная система сил, согласно принципу Даламбера, будет находиться в равновесии. Приравнивая нулю сумму проекций всех этих сил на нормаль М₁О получим

.

Так как , где v₁ — скорость груза в положения M₁, то

Таким образом, мы получили для T то же выражение, что и в задаче 107. Определяя теперь, как и в задаче 107, величину v₁ с помощью теоремы об измене­нии кинетической энергии, найдем искомый результат.

Уравнение в проекции на касательную дает . Этот результат получается потому, что в точке M₁ производная dv/dt = 0, так как в этой точке модуль ско­рости имеет максимальное значение.

Дата добавления: 2014-01-07