Метод касательных

ГРАФИЧЕСКОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ

Геометрические и кинематические характеристики механизмов.

Краткое содержание: Методы определения геометро-кинематических характеристик механизма: графические методы. Графическое дифференцирование (метод касательных, метод хорд). Вывод масштабной формулы. Метод графического интегрирования. Вывод масштабной формулы.

Методы геометро-кинематического исследования механизмов: метод кинематических диаграмм (графический)

Если одна из кинематических функций задана или определена в форме графика или в виде таблицы значений, то найти производную или интеграл от этой функции непосредственно в аналитической форме нельзя. В этом случае эффективными являются графические методы дифференцирования и интегрирования.

Графическое дифференцирование начинают с построения графика функции по заданным значениям (при задании функции в виде таблицы значений), при экспериментальном исследовании такой график вычерчивают с помощью самопишущих приборов. Графическое дифференцирование можно провести методом касательных, либо методом хорд.

К вычерченной кривой графика функции проводят касательные в фиксированных положениях и вычисляют значения производной по тангенсу угла, образованного касательной с осью абсцисс.

Например, определение скорости по известному перемещению можно произвести графическим дифференцированием, указанным методом (Рис.1).

Порядок графического дифференцирования методом касательных:

1. Строят оси координат, в которых вычерчивают график . Определяют масштабы и .
2. Ось абсцисс делят на некоторое число шагов с равными или не равными интервалами. На заданной кривой отмечают ряд точек , в которых проводят касательные.
3. В координатах по оси абсцисс влево откладывают отрезок дифференцирования и из точки проводят лучи , , … параллельно касательным к кривой
4. Отрезки, отсекаемые лучами на оси ординат, переносят на соответствующие участки, отмечая точки
5. Полученные точки соединяют плавной кривой, это и есть график . Подсчитывают масштаб: .

Вывод масштабной формулы

На Рис.1 кривая изображена в масштабе по оси ординат и - по оси абсцисс. Искомая функция может быть найдена по соотношению:

, (1)

где: тангенс угла наклона касательной к кривой в некоторой точке с индексом представляют в виде отношения отрезков:

, (2)

где: - ордината искомого графика скорости в -ой точке, а - выбранный отрезок дифференцирования .

Подставляя (2) в (1) получаем:

, (3)

где: - масштаб искомого графика скорости определяется из соотношения:

. (4)

График функции строят по найденным значениям ординат для ряда позиций, а затем обводят плавной кривой.

При необходимости график ускорений получают графическим дифференцированием графика скорости, при этом масштаб графика рассчитывают аналогично:

, (5)

где: - отрезок дифференцирования.

При экспериментальном исследовании, как правило, по оси абсцисс откладывают не время, а обобщенную координату, например , тогда графическим дифференцированием графика определяют передаточную функцию скорости , при этом рассуждения при выводе масштабной формулы будут аналогичны, а - масштаб искомого графика определится из соотношения:

,

где: - масштаб по оси абсцисс.

Дифференцируя график , в свою очередь получают график передаточной функции ускорения в масштабе :

.

Примечание:

Рекомендуется выбирать отрезок дифференцирования равным или кратным масштабу по оси абсцисс:

Если , то масштабы передаточных функций связаны соотношением:

Если , тогда:

Графическое дифференцирование методом касательных имеет относительно низкую точность. Более высокую точность получают при графическом дифференцировании методом хорд.

Дата добавления: 2014-01-07