Выражение суждения в виде формулы логики предикатов

Существуют две задачи, определяющие связь между суждениями и формулами логики предикатов:

1) выражение суждения в виде формулы логики предикатов;

2) интерпретация формулы логики предикатов.

Рассмотрим первую задачу.

Суждение – это мысль, в которой утверждается наличие или отсутствие свойств предметов, отношений между предметами.

Простым суждением назовем суждение, в котором нельзя выделить часть, в свою очередь являющуюся суждением. Среди простых суждений выделяют атрибутивные суждения и суждения об отношениях.

В атрибутивных суждениях выражается наличие или отсутствие у предметов некоторых свойств. Например, "Иванов - спортсмен", "Все сладкоежки любят конфеты", "Ни один студент нашей группы не знает испанский язык", "Некоторые океаны имеют пресную воду".

Все атрибутивные суждения можно разделить на следующие типы: " a есть P ", "Все S есть P ", "Ни один S не есть P ", "Некоторые S есть P ", "Некоторые S не есть P ". Эти суждения следующим образом переводятся на язык логики предикатов:

" a есть P " – P (a);

"Все S есть P " – " x (S (x) É P (x));

"Ни один S не есть P " – " x (S (x) É Ø P (x));

"Некоторые S есть P " – $ x (S (x) & P (x));

"Некоторые S не есть P " – $ x (A (x) & Ø P (x)).

Полезно понять и запомнить следующее правило: если кванторная переменная связана квантором общности ("), то в формуле используется знак импликации (É), а если кванторная переменная связана квантором существования ($), то в формуле используется знак конъюнкции (&).

Пример 2.17.

Перевести на язык логики предикатов следующие суждения:

а) Веста – собака.

Заменим имя "Веста" символом "в" и введем предикат P (x) = " x – собака".

Наше суждение можно выразить формулой: P (в).

б) Всякая логическая функция может быть задана таблицей.

Введем предикаты S (x) = " x – логическая функция"; P (x) = " x может быть задана таблицей".

Наше суждение можно выразить формулой: " x (S (x) É P (x)).

в) Ни один народ не хочет войны.

Введем предикаты S (x) = " x – народ"; P (x) = " x хочет войны".

Наше суждение можно выразить формулой: " x (S (x) É Ø P (x)).

г) Некоторые журналисты были в космосе.

Введем предикаты S (x) = " x – журналист"; P (x) = " x был в космосе".

Наше суждение можно выразить формулой: $ x (S (x) & P (x)).

д) Некоторые современники динозавров не вымерли.

Введем предикаты S (x) = " x – современник динозавров"; P (x) = " x вымер".

Наше суждение можно выразить формулой: $ x (A (x) & Ø P (x)).

Суждения об отношениях выражают отношения между двумя, тремя и т. д. объектами. При переводе этих суждений в формулы используют многоместные предикаты и правила, рассмотренные выше. При переводе отрицаний суждений на язык формул применяется правило переноса квантора через знак отрицания и другие равносильные преобразования.

Пример 2.18.

Суждение “Некоторые студенты сдали все экзамены” записать в виде формулы логики предикатов. Построить отрицание данного суждения в виде формулы, не содержащей внешних знаков отрицания. Перевести на естественный язык.

Введем предикаты: A (x) = “ x – студент”; B (y) = “ y – экзамен”, C (x, y) = ” x сдал экзамен y ”. Тогда предложение “Некоторые студенты сдали все экзамены” можно записать в виде следующей формулы:

$ x " y (A (x)& B (y) É C (x, y)).

Построим отрицание этой формулы, применяя равносильные преобразования:

Ø$ x " y (A (x)& B (y) É C (x, y))) º " x $ y (Ø(A (x)& B (y) É C (x, y)) º " x $ y (A (x)& B (y)& Ø C (x, y)).

Это предложение можно прочитать следующим образом:

“Каждый студент не сдал хотя бы один экзамен”.

Язык логики предикатов удобен для записи математических предложений: определений, теорем, необходимых и достаточных условий (см., например [5]).

Пример 2.19.

Записать на языке логики предикатов следующее определение предела числовой последовательности: "Число a является пределом числовой последовательности { a_n }, если для любого положительного числа e существует такой номер n ₀, что для всех натуральных чисел n, больших или равных n ₀, справедливо неравенство: | a_n - a | < e".

Введем предикаты: P (e) = "e > 0"; Q (n) = " n – натуральное число"; R (n, n ₀) = " n n ₀"; S (n, e) = "| a_n - a | < e".

Определение предела последовательности может быть записано следующей формулой:

"e$ n ₀" n (P (e)& Q (n)& Q (n ₀)& R (n, n ₀) É S (n, e)).

Пример 2.20.

Записать в виде формулы логики предикатов великую теорему Ферма (была доказана в 1996 г. Э. Вайлсом (Andrew Wiles)): "Для любого целого n > 2 не существует натуральных чисел x, y, z, удовлетворяющих равенству: xⁿ + yⁿ = zⁿ ".

Введем предикаты: N (x) = " x – натуральное число"; M (x) = " x > 2"; P (x, y, z, n) = " xⁿ + yⁿ = zⁿ ".

Для любых чисел x, y, z, n условие (посылка) теоремы Ферма есть конъюнкция N (x)& N (y)& N (z)& N (n)& M (n), а заключение есть Ø P (x, y, z, n). Поэтому теорема Ферма формулируется следующим образом:

" x " y " z " n (N (x)& N (y)& N (z)& N (n)& M (n) É Ø P (x, y, z, n)).

Если теорема имеет вид " x (P (x) É Q (x)), то предикат Q (x) является следствием предиката P (x). При этом предикат Q (x) называется необходимым условием предиката P (x), а предикат P (x) – достаточным условием предиката Q (x).

Пример 2.21.

Запишем в виде формулы логики предикатов утверждение: "Если число делится на 6, то оно делится на 3".

Введем предикаты P (x) = " x делится на 6"; Q (x) = " x делится на 3". Наше утверждение формулируется следующим образом: " x (P (x) É Q (x)).

Предикат P (x) (делимость на 6) является достаточным условием предиката Q (x) (делимость на 3). Предикат Q (x) (делимость на 3) является необходимым условием предиката P (x) (делимость на 6).

Дата добавления: 2014-01-07