Прогнозирование изменения определяющего параметра

Исходными данными для прогнозирования являются результаты измерения параметра при предыдущем контроле.

Если в процессе эксплуатации наблюдается монотонное изменение параметра, то по результатам периодических его измерений в моменты времени t₀, t₁,…, t_n может быть построена зависимость изменения этого параметра по наработке и сделана ее экстраполяция (рис.8.2). При этом можно определить наработку, при которой необходимо регулировать либо заменять объект во избежание достижения параметром предельного значения х_пр. Такую экстраполяцию, разумеется, можно проводить, если изменение параметра не имеет существенных колебаний (выбросов). На практике выбросы возможны (рис. 8.3) вследствие ошибок измерений, изменения условий эксплуатации и других факторов. В этом случае аппроксимацию целесообразнее проводить, используя метод наименьших квадратов.

Х(t)

Х₀

Х_пр

0 t₁ t₂ t₃ t

рис. 8.2 Экстраполяция изменений параметра по результатам контроля

Рис. 8.3 Аппроксимация с использованием метода наименьших квадратов

Если зафиксированные в эксплуатации значения определяющего параметра х свидетельствуют о том, что в качестве аппроксимирующей линии можно применить прямую

(8.8)

то сумма квадратов ее отклонений от зафиксированных значений определяющего параметра определяется выражением

(8.9)

где х_i — значение определяющего параметра х в i-м измерении (то есть в момент времени t_i);

N - количество измерений.

Задача состоит в выборе таких значений а и b, при которых величина S минимальна, то есть когда

=0

(8.10)

Из (8.10) получается следующая система алгебраических уравнений:

(8.11)

Введя обозначения

получаем более простой вид системы (8.11)

Na+α₁b=β₁

α₁a+α₂b=β₂ (8.12)

решая которую, получаем искомые значения a и b:

(8.13)

Если аппроксимирующая функция может быть представлена квадратным трехчленом вида

(8.14)

то сумма квадратов отклонений от зафиксированных значений определяющего параметра будет иметь выражение

(8.15)

Значения a, b, c, при которых S=S_мин, определяются из условий

(8.16)

Система уравнений для определения a, b, c имеет вид

Na+α₁b+α₂c=β₁;

α₁a+α₂b+α₃c=β₂;

α₂a+α₃b+α₄c=β₃, (8.17)

где

Решая систему (8.17) получаем

Для осуществления прогнозирования технического состояния системы важным является выбор определяющих параметров. Этот выбор может представлять собой самостоятельную задачу.

Дата добавления: 2014-01-07