Числовые характеристики

Закон распределения полностью характеризует случайную величину, однако часто бывает, что он неизвестен. В этом случае пользуются числовыми характеристиками случайной величины, которые описывают ее суммарно. К ним относятся математическое ожидание и дисперсия.

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности.

Пусть случайная величина имеет закон распределения (2.20). Тогда математическое ожидание вычисляется по формуле:

(2.21)

Замечание. Математическое ожидание - величина неслучайная и приблизительно равная (тем точнее, чем больше число испытаний n) среднему арифметическому ожиданию значений случайной величины. Покажем это.

Пусть произведено n испытаний, в которых случайная величина приняла m₁ раз значение х₁, m₂ раз значение х₂ , …, m_k раз значение х_k. При этом m_l + m₂ + ...+m_k= n.

Тогда сумма всех значений, принятых случайной величиной Х, равна

х₁m₁+x₂m₂+…+x_km_k

Очевидно, что среднее арифметическое

x^*==

Поскольку - относительная частота (частость) появления i- го значения случайной величины, то

X^*=x₁W₁+x₂W₂+…+x_kW_k

Но при большом числе испытаний относительная частота приближается к значению вероятности W₁≈p₁, W₂≈p₂, …., W_k≈p_k, поэтому

Х^*=х₁р₁+х₂р₂+…+х_кр_к=М[Х].

Свойства математического ожидания:

1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной: М[с] = с.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания: М[сХ] = сМ[Х].

3. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий: M[XY] = M[X]M[Y].

4. Математическое ожидание суммы (разницы) двух случайных величин равно сумме (разнице) их математических ожиданий: M[X±Y] = M[X]±M[Y].

5. Математическое ожидание числа А (п) появления события А в независимых опытах равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в каждом испытании: М[А(n)] = nр.

Может оказаться, что случайные величины, совершенно различные по возможным значениям, имеют одинаковые математические ожидания, например:

X -0,01 0,01 Y -100 100

Р 0,5 0,5 Р 0,5 0,5

М[Х] = 0 M[Y] = 0

Для оценки того, как рассеяны возможные значения случайной величины возле математического ожидания, используют вторую числовую характеристику - дисперсию.

Дисперсией (рассеянием) дискретной случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

D[X] = М(Х - M[X])².(2.22)

Пример. Случайная величина задана законом распределения

X 3 5 2

Р 0,1 0,6 0,3

Определить D[X].

Решение. По выражению (2.21) определяем

М[Х] = 0,1*3+0,6*5+0,3*2 = 3,9.

Возможные значения квадрата отклонения

(х₁ - М[Х])²=(3-3,9)²=0,81

(х₂ - М[Х])²=(5-3,9)²=1,21

(х₂ - М[Х])²=(2-3,9)²=3,61

имеют те же вероятности, что и возможные значения самой случайной величины, следовательно, их закон распределения имеет вид

(х₂ - М[Х])² 0,81 1,21 3,61

Р 0,1 0,6 0,3

Тогда, по определению,

D[X] = 0,81*0,1 + 1,21*0,6 + 3,61*0,3 = 1,89.

Есть формула, позволяющая получить значение дисперсии менее громоздким способом, а именно,

D[X] = М[Х²] – (M[X])².

Воспользуемся данными предыдущего примера. Так как квадраты возможных значений X имеют те же вероятности, что и сами возможные значения, то они имеют следующий закон распределения:

X² 9 25 4

Р 0,1 0,6 0,3

Тогда М[Х²] = 9*0,1 + 25*0,6 + 4*0.3 =17,1.

Следовательно, D[X] = M[X²] - (M[X])² = 17,1 -3,9² = 17,1 - 15,21 = 1,89.

Свойства дисперсии:

1.Дисперсия постоянной величины равняется нулю.

2.Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, при этом его величина возводится в квадрат: D[cX]=c²D[X].

3.Дисперсия суммы (разности) двух независимых случайных величин равна сумме (разности) дисперсий: D[X±Y] = D[X]±D[Y].

4.Дисперсия суммы постоянной и случайной величин равна дисперсии случайной величины D[c+X] =D[X].

5.Дисперсия числа появления события А в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность р появления события А постоянна, равна произведению числа испытаний на вероятность появления (р) и непоявления (q = 1 - р) события в одном испытании:

D[A(n)]=npq.

Средним квадратическим отклонением случайной величины называют корень квадратный из дисперсии:

δ[Х]= (2.23)

Среднее квадратическое отклонение суммы нескольких случайных величин вычисляется по формуле:

δ[Х₁+Х₂+…+Х_n]= (2.24)

Дата добавления: 2014-01-07