Гармонические колебания

Колебания

Лекция №5

Типаж автомобильной техники разрабатывают отдельно для грузовых автомобилей, легковых автомобилей и автобусов.

Минимальная скорость - 4 км/ч,

максимальный угол подъема не менее 30°, бокового крена — 11°, возможность преодоления водных преград вброд до 1,8 м.

Максимальная скорость, не менее:

для автомобилей категории N₁ - 120 км/ч;

для автомобилей категории N₂ и N₃ - 110 км/ч;

для автомобилей в составе автопоезда - 90 км/ч;

для автомобилей в составе автопоезда, предназначенных для междугородных и международных перевозок, - 100 км/ч.

Предельные габаритные размеры одиночного автомобиля не долж­ны превышать следующих величин: длина — 12,0 м; ширина — 2,5 м высота — 3,8 м. Длина двухзвенного автопоезда не должна превышать 20,0 м, трехзвенного автопоезда — 24 м.

Максимальный подъем:

для одиночных автомобилей - 25% (14,0°);

для автомобилей в составе автопоезда - 18% (6,84°).

Автомобили должны быть рассчитаны на эксплуатацию при скорости ветра до 20 м/с на высоте до 4500 м над уровнем моря, должны преодолевать перевалы высотой до 4650 м с соответствующим изменением тягово-динамических качеств, а также при запыленности воздуха 1 г/куб. м.

Автомобили должны иметь запас хода не менее:

категории N₁ по ГОСТ Р 52051 - 650 км;

категории N₂ и N₃ по ГОСТ Р 52051 - не менее 800 км.

Автомобили в составе автопоезда, специально предназначенные для междугородных и международных перевозок, должны иметь запас хода не менее 1000 км.

Усилия, прикладываемые к органам управления автомобилем, не должны превышать:

- на рулевом колесе автомобиля с усилителем - 120 Н;

- на рулевом колесе автомобиля с усилителем

при его отказе.- 500 Н;

- на рулевом колесе автомобиля без усилителя - 250 Н;

- на педалях ножного привода тормозных систем - 686 Н (70 кгс);

- на рычагах ручного привода тормозных систем - 588 Н (60 кгс);

- на педалях выключения сцепления: 147 Н (15 кгс) - при наличии усилителя; 240 Н (25 кгс) - без усилителя; 490 Н (50 кгс) при отказе усилителя;

- на педалях подачи топлива - 78 Н (8 кгс);

- на рукоятках привода жалюзи радиатора системы охлаждения, постоянной подачи топлива, ручного останова двигателя - 78 Н (8 кгс);

- на ножной кнопке аварийной остановки двигателя - 78 Н (8 кгс);

- на рычаге коробки передач - 98 Н (10 кгс).

Гармонические колебания. Колебания пружины. Математический и физический маятник. Затухающие и вынужденные колебания. Характеристики волнового движения. Бегущие и стоячие волны. Скорость распространения волн. Модули упругости ивсстороннего сжатия. Дифракция и интерференция. Звук. Характеристики звука. Источники звука. Качество звука. Принцип действия приборов УЗИ, Эффект Доплера и его применение в медицине. Ударные волны.

На первый взгляд незаметно, чтобы вокруг нас совершались колебательные движения. Однако колебательное движение совершают атомы и ядра, планеты и звезды[1], они происходят в тканях живых и растительных организмов, электромагнитные и звуковые волны. Оказывается, весь окружающий нас мир находится в постоянном колебательном движении. Звук в радио, изображение в телевизоре, передача сигналов на расстоянии – это сумма большого количества колебательных движений. Колебания бывают, например, механические, электрические, электромагнитные, акустические. Колебательные движения, например, механических тел или электрических зарядов проводят к возникновению волн.

Движение, при котором состояния движущегося тела с течением времени повторяются, причем тело проходит через положение своего устойчивого равновесия поочередно в противоположных направлениях, называют механическим колебательным движением.

Колебательные движения делятся на периодические и непериодические. Периодическим называется колебательное движение, при котором состояния колеблющегося тела повторяются через определенные и равные промежутки времени. В этом случае тело движется по одной и той же траектории. Примерами периодических колебаний являются движение маятника часов, вращение Земли.

Непериодическими называются колебания, при которых состояния колеблющегося тела не повторяются через одинаковые промежутки времени. К непериодическим колебаниям относятся те на которые оказывается внешнее воздействие. Например, затухающие колебания под действием сил трения о воздух или другую среду, кардиограмма сердца представляет собой сумму большого числа колебаний различных участков сердца и других органов. По отклонениям в круговых траекториях вращения планет вокруг Солнца астрономы открывали их естественные спутники или новые планеты.

Характеристиками колебательного движения являются период , частота , смещение , амплитуда (рис.5.1).

Рис. 5.1. Характеристики колебательного движения

Периодом называют время совершения одного полного колебания тела.

Частотой колебаний называют число полных колебаний в одну секунду. Ее измеряют в герцах (), 1 Герц равен одному полному колебанию в секунду. Частота обратно пропорциональна периоду колебаний:

(5.1.1)

Смещением называется расстояние от положения тела в данный момент времени до положения равновесия.

Циклической (или круговой) частотой колебаний называют величину:

(5.1.2)

Она измеряется в единицах рад/c.

Амплитудой называют максимальное смещение или наибольшее отклонение тела от положения равновесия.

Периодическое колебание, совершающееся с ускорением, пропорциональным смещению тела и противоположно ему направленным, называют гармоническим. Движение тела при таких колебаниях описывается гармоническими функциями - синусом или косинусом.

Колебательный процесс может происходить под действием как внешних, так и внутренних сил. Колебания под действием внутренних сил называют свободными. В этом случае исходная потенциальная энергия колебательного движения превращается в кинетическую энергию и обратно. Частота, с которой совершаются такие колебания, называют собственной.

Колебания верхушки останскинской телебашни, шпиля главного здания московского университета, макушек деревьев происходят под действием внешних сил, перепада температур, потоков воздуха и других.

Рассмотрим примеры моделей простейших колебаний: колебаний груза на пружине, математического и физического маятников.

Колебания груза на пружине. Уравнение гармонического колебания удобно рассмотреть на примере колебания груза на пружине, поскольку эта простейшая модель может быть использования и для описания колебаний диполя, гармонического осциллятора и в других случаях. Ускорение тела в дифференциальной форме согласно (1.1.15) равно: . Отсюда второй закон Ньютона можно записать в виде:

(5.1.3)

где - масса колеблющегося тела, сила упругости пружины, описываемая законом Гука.

Рис. 5.2. Колебания груза на пружине

Переписав (5.1.3) в виде, получаем уравнение гармонического колебания груза на пружине:

(5.1.4)

Решение уравнения (5.1.4), как показывается в теории дифференциальных уравнений, ищется в виде:

(5.1.5)

где величина представляет собой амплитуду, а величина называется начальной фазой. Начальная фаза показывает, в какой точке выбрано начало координат. Обычно его положение выбирают так, чтобы при t=0 было х=0. В этом случае значение начальной фазы колебания будет также равным нулю . Если при t=0 и , то и начальная фаза колебательного движения будет отлична от нуля . Начальная фаза не влияет на форму функции , а влияет лишь на её положение в некоторый произвольный момент времени .

Учитывая, что вторая производная от гармонической функции (5.1.5) имеет вид:

(5.1.6)

уравнение (5.1.4) приобретает вид:

.

Откуда собственная частота колебаний груза на пружине:

(5.1.7)

Математический маятник. Математическим маятником называют материальную точку, подвешенную на длинной, нерастяжимой и невесомой нити. Причем необходимо, чтобы угол отклонения маятника был малым[2]. Уравнение, описывающее колебания математического маятника аналогично (5.1.3):

(5.1.8)

При малых амплитудах колебания математического маятника справедливы следующие приближения:

(5.1.9)

В этом случае возвращающая сила F, действующая на груз математического маятника (рис.5.3), представима в виде:

. (5.1.10)

Уравнение (5.1.8) с учетом (5.1.9) и (5.1.10) приобретает вид:

(5.1.11)

Подставляя в (5.1.11) (5.1.6) получаем дифференциальное уравнение, аналогичное (5.1.4):

,

откуда частота собственных колебаний математического маятника составляет:

, (5.1.12)

а период колебаний математического маятника описывается известной формулой Томсона:

(5.1.13)

Рис.5.3. К выводу частоты колебаний математического маятника.

Следует отметить, что частота и период колебаний математического маятника не зависят от массы колеблющегося тела. Реальный угол отклонения математического маятника от положения равновесия не всегда можно считать малым. В этом случае синус угла раскладывается в ряд Тейлора и имеет вид:

(5.1.14)

Значение синуса угла почти не отличается от значения угла в радианах.

Период колебаний маятника, отличающегося от математического, записывается в виде бесконечного ряда и оказывается несколько больше периода колебаний математического маятника:

(5.1.15)

Физический маятник. Физический маятник - твёрдое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг горизонтальной оси подвеса, при этом массу тела нельзя считать сосредоточенной в одной точке. Это, например, колебание карандаша или линейки вокруг точки подвеса. Ведь математический маятник весьма жесткое приближение колебаний реальных тел. Физический маятник – это модель колебаний тела с реальными размерами.

Для физического маятника (рис. 5.4) необходимо использовать уравнение динамики вращательного движения (3.7.3). В этом случае вместо силы используется момент сил, под действием которого происходят малые колебания, поскольку каждая точка физического маятника будет иметь свое плечо и отличный от других точек тела вращающий момент. Для простоты вывода будем считать, что вся масс физического маятника сосредоточена в его центре тяжести, угол отклонения маятника от положения равновесия малым:

Воспользуемся вторым законом Ньютона для вращательного движения (3.7.3):

,

Рис.5.4. Физический маятник.

которое, используя понятие момента инерции I=ml², представимо в виде: (5.1.16)

Решая это уравнение аналогично (5.1.11) получаем частоту и период колебаний физического маятника:

, (5.1.17)

Видно, что в этом случае период и частота зависят от массы тела и его формы, которая определяет величину момента инерции.

Затухающие гармонические колебания. В реальных условиях на колеблющееся тело действует сила трения. Например, на качели действует сила сопротивления воздуха и трение в точках прикрепления качелей к оси. Если качели отвести высоко вверх, отпустить и в дальнейшем не подталкивать, то со временем частота и амплитуда качаний уменьшится, и качели остановятся. Во всех живых организмах, начиная с клетки, происходят колебания. Поддержание амплитуды этих колебаний происходит за счет поступления энергии из внешних источников, например, в результате переработки пищи.

Полностью избежать трения невозможно. Поэтому амплитуда колебаний любой колеблющейся пружины и любого качающегося тела постепенно уменьшается до тех пор, пока они вовсе не прекратятся. Затухающие гармонические колебания – это гармонические колебания с уменьшающейся амплитудой и постепенно увеличивающимся периодом (рис. 5.5).

Сила вязкого трения о воздух, вызывающая затухание, как отмечалось ранее, пропорциональна скорости:

, (5.1.18)

где - постоянная, имеющая размерность .

В случае, когда брусок испытывает трение о воздух, а трением скольжения можно пренебречь уравнение колебания груза на пружине (5.1.3) имеет вид:

(5.1.19)

или в форме дифференциального уравнения

(5.1.20)

Рис.5.5. Пример затухающего гармонического колебания.

Решение этого уравнения, как показано в теории дифференциальных уравнений, следует искать в следующем виде:

,

где - множитель, имеющий размерность , описывает скорость уменьшения амплитуды.

Подставляя это решение в уравнение (5.1.20) получаем:

.

Поскольку функции синуса и косинуса не могут быть равны нулю одновременно в какой–либо момент времени, а множитель перед квадратными скобками всегда отличен от нуля, то полученное уравнение имеет решение только в случае, когда оба выражения в круглых скобках равны нулю:

(5.1.21)

Из системы уравнений (5.1.21) получим параметр быстроты уменьшения амплитуды колебаний:

. (5.1.22)

Из уравнения (5.1.22) видно, чем сильнее трение, тем быстрее спадает амплитуда колебаний.

Частота собственных колебаний также вычисляется из первого уравнения системы (1.21):

(5.1.24) Видно, что с ростом силы вязкого трения собственная частота также уменьшается. Следовательно, период затухающих колебаний уменьшается:

.

На рис.5.5 показаны изменения параметров колебательного движения с течением времени. Начальное отклонение шарика от положение равновесия или начальная фаза составляет Х₀. С каждым колебанием амплитуда уменьшается в примерно раз:

Вынужденные колебания, резонанс. Во многих случаях система не просто колеблется сама по себе, а испытывает еще и действие внешней силы, которая также меняется с определенной частотой. На примере качелей, хорошо видно, что если их подталкивать в такт, то амплитуда колебаний будет расти. Можно качели заставить колебаться с необходимой нам частотой, если их двигать рукой, не отпуская. В этом случае качели будут колебаться с частотой вынуждающей силы. Если частота колебаний будет расти по сравнению с собственной частотой колебания качелей, то амплитуда и частота будут стремиться к нулю. Например, если стучать по качелям с большой частотой молотком, пытаясь их раскачать, то интуитивно ясно, что они просто остановятся. Становится понятно, что частота и амплитуда колебаний существенно зависит от частоты внешнего воздействия

Предполагая, что внешняя сила изменяется по гармоническому закону и может быть представлена в виде:

, (5.1.25)

учтем ее в уравнении (5.1.19) одновременно с учетом силы трения. Тогда оно приобретает вид:

или

(5.1.26)

Решение уравнения (5.1.26) записывается в общем виде:

, (5.1.27)

где амплитуда вынужденных колебаний приобретает вид:

, (5.1.28)

- частота собственных колебаний системы, а начальная фаза составляет:

(5.1.29)

Хорошо известен пример, когда частота вынуждающей силы (строя солдат, идущих в ногу по мосту) и собственных колебаний моста совпали, и это привело к его разрушению. Если частота порывов ветра совпадает с частотой собственных колебаний мачты, башни или крыши строения, то это может привести к их разрушениям. Так, например, под действием силы ветра колеблются вершины Останкинской телебашни и Главного здания МГУ. От этих колебаний полностью избавиться практически невозможно. При строительстве и подборе материалов можно уменьшить их амплитуду.

В современном строительстве эти факторы тщательно учитываются. Толчки автомобиля о неровности дороги могут совпасть с частотой собственных колебаний какого-либо его узла, и это может привести к его скорой поломке. Еще пример, когда пение могло заставить раскачиваться балкон, оконные стекла или дребезжать фужеры.

Из выражения амплитуды (5.1.28) видно, когда частота вынуждающей силы приближается к собственной частоте колебаний системы, амплитуда резко возрастает. Ее величина определяется быстротой затухания колебаний или величиной коэффициента трения. Это явление называется резонансом. Собственная частота колебаний системы называется резонансной частотой. На рис.5.6 представлена зависимость амплитуды колебаний от частоты внешней силы, в которой хорошо виден пик при равенстве частот .

Высота и ширина резонансного пика часто характеризуются параметром , который называется добротностью и определяется как:

(5.1.30)

Ширина резонансного пика связана с добротностью соотношением:

(5.1.31)

Особую роль играет резонанс в радиотехнике. Настройка приемника означает приближение собственной частота приемника к частоте передающей радиостанции. Тоже происходит и при настройке телевизора. К этим примерам мы вернемся позже, в лекциях по электричеству.

Рис. 5.6. Резонанс.

Понятие резонанса и добротности особенно широко используются в радиосвязи. Когда мы настраиваем приемник на нужную радиостанцию, то замечаем, что при повороте ручки настройки слышимость сначала возрастает, а затем снова уменьшается. Чем выше добротность контура, тем уже участок, на котором мы слышим радиостанцию, и тем быстрее улучшается ее слышимость и качество воспроизводимого звука.

Сложение колебаний. Любое изображение на экране осциллографа или телевизора – это сложение движений луча по двум координатам X и Y, то есть по плоскости. Любое изображение на экране телевизора или осциллографа – результат сложения большого числа колебаний с разными частотами и амплитудами по обеим осям координат.

Рассмотрим несколько простейших случаев сложения двух гармонических колебаний. Гармоническое колебание по каждой из осей в общем случае описывается по закону:

(5.1.32)

(5.1.33)

Для того, чтобы на плоскости нарисовать окружность (рис.5.7а), в уравнениях (5.1.32) и (5.1.33) должны выполняться условия:

, , (5.1.34)

Это можно интерпретировать так. Амплитуда и частота колебаний по обеим осям должна быть одинаковой, но колебания должны быть сдвинуты друг относительно друга по фазе на 90⁰.

В этом случае сложение колебаний по оси х и у приводит к форме окружности радиусом :

Если при этом , то окружность превратится в эллипс, как показано на рис.5.7б.

В случае, когда не будет происходить сдвига фаз в (5.1.34), то в уравнениях (5.1.32) и (5.1.33) можно исключить функцию косинуса. Тогда если , то x=y и вместо окружности на осциллографе будет наблюдаться прямая линия, наклоненная к осям Х и Y под углом 45⁰. Когда (в случае эллипса) получается прямая линия, но уже под другим углом (рис.5.7в).

Таким образом, можно получить фигуры сложной формы. Изображения сумма колебаний гармонических функций на экране осциллографа получили название – фигур Лиссажу. На рис 5.7д приводятся фигуры Лиссажу на мониторе осциллографа.

На этом принципе работает и телевизор с электронно-лучевой трубкой. Электронный луч описывает контуры всех объектов и предметов на экране телевизора. Их можно описать как сумму большого количества простых фигур, некоторые из которых проводятся на рис.5.7.

д)

Рис.5.7. Примеры фигуры Лиссажу: описание гармоническими функциями окружности (а), эллипса (б) и прямой (в), д) – изображение фигур Лиссажу на экране осциллографа.

Энергия гармонического осциллятора. Под гармоническим осциллятором понимают колебания двух тел, связанных упругой силой (электромагнитными или гравитационными силами), друг относительно друга, например, электронной оболочки и ядра атома, двух атомов в молекуле. Простейшей моделью осциллятора является колебание двух грузов, соединенных пружиной или одного груза, когда второй из них закреплен.

Рассмотрим процесс превращения энергии на примере гармонических колебаний пружинного маятника. Для груза массой на конце невесомой пружины возвращающая сила описывается выражением:

(5.1.35)

Потенциальная энергия груза на пружине определяется интегрированием выражения (5.1.35):

(5.1.36)

Эта функция представляет собой параболу (рис.5.8).

Рис. 5.8. Зависимость потенциальной энергии пружины от координаты

Полная механическая энергия груза на пружине равна сумме потенциальной и кинетической энергий:

, (5.1.37)

где - скорость, которую имеет груз массой на расстоянии от положения равновесия (максимальное отклонение груза от положения равновесия А). Как видно на рис.5.8 кинетическая и потенциальная энергия представляют собой часть полной энергии грузу, причем в процессе колебаний и отсутствия трения оба вида энергии переходят друг в друга. Так в нижней точке параболы груз имеет максимальную скорость и кинетическую энергию, а потенциальная энергия становится равной нулю. В крайних точках, когда величина смещения равна амплитуде колебаний () и скорость , полная энергия груза переходит в его потенциальную энергию.

Дата добавления: 2014-01-07