Теорема Гаусса

Введем понятие потока напряженности электрического поля. Рассмотрим площадку S, через которую проходят силовые линии (рис.8.8), где вектор - перпендикулярный поверхности площадки, равный произведению единичного вектора на площадь S . Если напряженность электрического поля перпендикулярна площадке, то поток напряженности электрического поля будет определяться как

. (8.5.1)

В общем случае поток напряженности электрического поля определяется как скалярное произведение векторов, которое в математике обычно обозначается круглыми скобками:

. (8.5.2)

Рис. 8.8. К определению потока напряженности

электрического поля.

Таким образом, если же площадка не перпендикулярна напряженности поля, а составляет некоторый угол θ с ней, то ее будет пронизывать меньше силовых линий.

Когда электрическое поле неоднородно, а поверхность не плоская, поток электрического поля через замкнутую поверхность описывается выражением:

. (8.5.3)

Поток напряженности, входящий в замкнутый объем, отрицательный, а поток, выходящий из объема, положительный.

Теорема Гаусса устанавливает точную связь между потоком напряженности электрического поля через замкнутую поверхность и суммарным зарядом Q внутри этой поверхности:

. (8.5.4)

Закон Кулона является частным случаем теоремы Гаусса. Интерпретировать теорему Гаусса можно так. Количество силовых линий электрического поля, выходящих из заряда, характеризует его величину. Если заряд окружить замкнутыми поверхностями любой формы, то количество силовых линий электрического поля, пересекающее каждую из этих поверхностей, остается неизменным. На рис.8.9а видно, что через каждую из сфер, окружающих заряд, проходит равное число силовых линий.

Рис.8.9. К объяснению теоремы Гаусса.

В случае, когда внутри замкнутой поверхности заряды отсутствуют, то суммарный поток электрического поля через любую замкнутую поверхность (сферу) отсутствует, так как число линий входящих в нее равно числу линий выходящих наружу (рис.8.9б). Как видно рис.8.9б число силовых линий электрического поля (Ф₊), входящих в концентрические сферы, равно числу силовых линий (Ф_-), выходящих из них. Применение теоремы Гаусса рассмотрим на примере вычисления напряженности электрического поля, создаваемого равномерно заряженной бесконечной пластинкой (рис. 8.10а).

Выберем в качестве поверхности интегрирования небольшой замкнутый цилиндр, пересекаемый пластинкой, ось которого перпендикулярна плоскости пластинки. Вектор по обе стороны плоскости перпендикулярен ей и постоянен в пределах торца цилиндра площадью S. По теореме Гаусса выражение (8.5.4) для потока напряженности электрического поля имеет вид:

, (8.5.6)

где - заряд заключенный внутри цилиндра, а - поверхностная плотность заряда, измеряемая в единицах .

а) б)

Рис.8.10. Электрическое поле одной (а) и двух (б) равномерно заряженных бесконечных пластин.

Из выражения (8.5.6) напряженность электрического поля бесконечной заряженной плоскости вычисляется по формуле:

. (8.5.7)

Пример 8.4. На две параллельные пластины больших размеров нанесены заряды с поверхностной плотностью и . Вычислить электрическое поле между пластинками и вне их.

На положительно заряженной пластинке электрическое поле направлено от пластинки как на рис.8.10а, а на отрицательно заряженной пластинке электрическое поле направлено к пластинке (рис.8.10б). Величина электрического поля определяется формулой (8.5.7), только для каждой из пластинок оно имеет противоположные знаки. В соответствии с принципом суперпозиции внутри пластинок поле от каждой из пластинок направлено в одну сторону, а вне пластинок – в противоположную сторону. Поэтому электрическое поле внутри пластинок составляет:

, (8.5.8)

а электрическое поле вне пластинок составит:

.

Дата добавления: 2014-01-07