Лекция 14. Оптимальный портфель ценных бумаг

План

1. Модель Марковица формирования оптимального фондового портфеля.

2. Нахождение оптимальной структуры фондового портфеля методом множи-

телей Лагранжа.

1. Предположим, что в фондовый портфель отобраны n «перспективных» акти-

вов.

Согласно рассматриваемой модели главная информация заключена в век-

торе-столбце ожидаемых эффективностей m и в матрице ковариаций V:

⎛ m 1 ⎞

⎛ V 11

V 12

...

V 1 n ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

m = ⎜ m 2 ⎟, V

= ⎜ V 21

V 22

...

V 2 n ⎟.

⎜... ⎟

⎜ ⎟

⎜............ ⎟

⎜ ⎟

⎝ mn ⎠

⎝ Vn 1

Vn 2

...

Vnn ⎠

Обычно придерживаются определённой нумерации. Например, располагают mi

в порядке возрастания. Матрица ковариаций симметрична относительно глав-

ной диагонали.

Пусть

xi (i =1, n) – доля капитала инвестора, вложенная в i -й вид ценных

бумаг. Следовательно,

n

∑ xi =1. (1)

i =1

Структуру портфеля ценных бумаг удобно записывать вектором-

столбцом:

⎛ x 1 ⎞

⎜ ⎟

x = ⎜ x 2 ⎟.

⎜... ⎟

⎜ ⎟

⎝ xn ⎠

Введём вектор-столбец I, состоящий из единиц. Тогда условие (1) может быть

записано, как

I T x =1.

Рассмотрим эффективность фондового портфеля

Rp, которая является

случайной величиной. Её числовой характеристикой является ожидаемая эф-

фективность

или в матричном виде

n

mp = ∑ xi mi

i =1

T

mp = x m.

Характеристикой риска является дисперсия эффективности фондового

портфеля

n n

Dp = ∑∑ xi x jVij

или

i =1

j =1

T

Dp = x Vx.

Задача формирования рисковой части оптимального портфеля ставится

следующим образом. При заданной эффективности mp

найти такую структуру

x, которая обеспечивала бы минимум функции

Dp, т.е. минимальный риск

портфеля. Такая модель была впервые предложена Марковицем в 1951 г. Мо-

дель Марковица записывается в следующем виде:

n n

Dp = ∑∑ xi x jVij → min, (2)

i =1

⎧ n

j =1

⎪∑ xi mi = mp

⎪ i =1

(3)

n

⎪

⎨

∑ xi =1

⎩ i =1

Иногда налагают условие не отрицательности:

xi ≥ 0

(i =1, n). (4)

В матричном виде задача (2)-(4) выглядит следующим образом:

p

D = xTVx → min, (5)

p

⎧⎪ xT m = m

⎨

(6)

I T x =1

x ≥ 0. (7)

2. Задача (5)-(7) является задачей квадратичного программирования. Задачу (5)-

(6) можно решить методом множителей Лагранжа, а затем учесть условие (7).

Составим функцию Лагранжа:

1 2 1 2 p

L (x, λ, λ) = xTVx + λ (I T x −1) + λ (mT x − m).

Это задача на условный экстремум. Согласно необходимому условию экстре-

мума, получим:

=−

∂ L (x, λ1, λ2) = 0,

2 Vx + λ I + λ m = 0, Vx

1 λ I − 1 λ m,

=−

∂ x 1 2 2 1 2 2

x 1 λ V −1 I − 1 λ V −1 m.

2 1 2 2

Ограничения задачи (6) примут линейный вид относительно

⎧λ mTV −1 I + λ mTV −1 m = −2 m

λ1,

λ2:

⎪ 1 2 p

⎨

⎪λ I TV −1 I + λ

I TV −1 m = −2

⎩ 1 2

Введя дополнительные обозначения

def

def

mTV −1 I = I TV −1 m = A,

def

mTV −1 m = B,

I TV −1 I

= C, получим систему:

⎧λ1 A + λ2 B = −2 mp

⎨

⎩λ1 C + λ2 A = −2

Решим её методом Крамера:

λ = ∆1 =

1 ∆

−2 mp A + 2 B,

A 2 − BC

∆

λ2 = ∆

= −2 A + 2 mp C.

A 2 − BC

Найденные значения множителей Лагранжа подставим в выражение для оптимальной структуры:

x * 1

−2 mp A + 2 B

V −1 I

1 −2 A + 2 mp C

V −1 m

=− ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ =

2 A 2 − BC

2 A 2 − BC

p

= V −1 ⎡⎣(IA − mC) m

+ (− IB + mA)

⋅ 1.

A 2 − BC

Для решения задачи (5)-(7) составляют расширенную матрицу:

⎛ 2 V 11

2 V 12

... 2 V 1 n

m 1 1 ⎞

⎜ ⎟

⎜ 2 V 21

2 V 22

... 2 V 2 n m 2 1 ⎟

Z = ⎜ ⎟.

⎜ 2 Vn 1

2 Vn 2

... 2 Vnn mn 1 ⎟

⎜ m 1

m 2... mn

0 0 ⎟

⎜ ⎟

⎝ 1 1... 1 0 0 ⎠

Её размерность (n + 2) × (n + 2).

Оптимальная структура рисковой части фондового портфеля

x * линей-

но зависит от mp

и записывается в виде

x * (m

p) = amp

+ b,

где a и b – матрицы размерности

n ×1. Для нахождения их компонент находят

матрицу, обратную матрице Z, т.е.

⎛… … … … a 1

b 1 ⎞

⎜ ⎟

⎜… … … … a 2

b 2 ⎟

⎜… … … … … …⎟

Z −1 = ⎜ ⎟

⎜… … … … an

bn ⎟

⎜… … … … … …⎟

⎜ ⎟

⎝… … … … … …⎠

Запишем функцию оптимального риска фондового портфеля

σ * (m) =

cm 2 + dm

+ e,

где

c = aTVa,

d = 2 aTVb,

p p p p

e = bTVb.

Дата добавления: 2014-01-07