Мальный риск

σ p *. С помощью (1) будет найдена оптимальная структура

рисковой части фондового портфеля, не зависящая от склонности инвестора к риску. Полученный таким образом портфель ценных бумаг принято называть касательным.

Аналитически абсцисса точки касания

касательной к кривой риска:

mp *

определяется из уравнения

σ (m

) − σ

(m *) = σ

/ (m

*) ⋅ (m

− m *). (3)

p p p p p p p p

Касательная проходит через точку

(r 0; 0). Поэтому подставим в уравнение (3)

mp = r 0. Т.к. данный актив – безрисковый, то σ p (r 0) = 0. Из уравнения (3) нахо-

дим

mp *.

Замечание 1. Во-первых, в силу геометрических особенностей, абсцисса

точки касания может оказаться отрицательной или случится так, что

mp * ≤ r 0.

Во-вторых, значение

mp *

может оказаться меньшим, чем минимальная ожи-

даемая эффективность

m 1 рисковой части портфеля, либо большим, чем

1

mn.

Тогда рекомендуется в качестве

mp *

рассматривать

(m 1 + m 2 +... + mn), т.е.

n

среднюю арифметическую ожидаемых эффективностей.

Решение задачи Марковица-Тобина подразумевает, что доли вложения

капитала

xi могут быть любого знака. Если

xi ≥ 0, то это означает рекоменда-

цию вложить долю

xi капитала в ценные бумаги вида i. Если

xi < 0, то это оз-

начает рекомендацию взять в долг ценные бумаги этого вида в количестве

(− xi), т.е. участвовать в операции «short sale» (игра на ценных бумагах, взятых

в долг). Заметим, что разрешение на «short sale» по конкретной акции даёт

биржа и эта операция далеко не всегда разрешена. На фондовом рынке Украи-

ны она вообще не практикуется.

Замечание 2. Чтобы избегнуть отрицательных долей вложения, можно

задать условие

xi ≥ 0

(i =1, n). Это значит, что необходимо найти решение сис-

темы линейных неравенств:

⎧ a 1 m p + b 1 ≥ 0

+ b ≥ 0

⎪

⎪ a 2 m p 2

⎨

⎩

⎪..................

⎪ an m p + bn ≥ 0

(4)

Если существует решение m

∈[ m

min; m

max ], то инвестору предлагается в каче-

p p p

стве оптимальной ожидаемой эффективности выбрать середину интервала:

m min + m

max

m

=

opt p p.

p 2

Замечание 3. Может случиться, что система неравенств (4) не имеет ре-

шения. Практическая рекомендация инвестору может быть следующей. Ценные бумаги, чьи доли вложения отрицательны, следует исключить из фондового

портфеля («обнулить» доли вложения) и весь капитал инвестора распределить между оставшимися активами.

2. Продемонстрируем решение задачи Марковица-Тобина на конкретном при-

мере.

Пример 1. По данным примера 1 из лекции 12 в портфель ценных бумаг были отобраны три «перспективные» ценные бумаги, которые характеризуются столбцом ожидаемых эффективностей m и матрицей ковариаций V:

⎛30,1852 ⎞

⎛ 968,1756 862, 9458

−24, 4856 ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠

m = ⎜ 48, 4259 ⎟,

⎜65, 5556 ⎟

V = ⎜ 862, 9458 4004, 3896 3558, 7449 ⎟.

⎜ ⎟

⎝ ⎠

⎜ −24, 4856 3558, 7449 10923, 457 ⎟

Для их расчёта можно использовать функции СРЗНАЧ() и КОВАР(), соответ-

ственно.

Требуется:

1) найти в общем виде структуру оптимального рискового портфеля

x (mp) и

соответствующий риск

лями вложения;

σ p (mp)

и составить портфель с неотрицательными до-

2) найти оптимальную, не зависящую от склонности инвестора к риску струк-

туру рисковой части портфеля

x (mp *), если принять во внимание, что имеются

безрисковые ценные бумаги с эффективностью

r 0 = 5%. Указать ожидаемую

эффективность

mp * и риск σ p * полученного портфеля;

3) найти оптимальное распределение вложений (в процентах и денежных сред-

ствах)

xC, ожидаемую эффективность оптимального комбинированного порт-

феля mC

и его риск σ C. В портфель инвестируется C = 4000

грн., из которых

25% вкладывается в безрисковые ценные бумаги, а оставшиеся 75% – в риско-

вую часть портфеля.

Решение. 1) Составляем расширенную матрицу:

Z=

1936,3512 1725,8916 -48,9712 1725,8916 8008,7791 7117,4897 -48,9712 7117,4897 21846,914	30,1852 48,4259 65,5556
30,1852 48,4259 65,5556	0 0 0 0
1 1 1

Оптимальная структура рисковой части портфеля ценных бумаг опреде- ляется соотношением (1). Для нахождения матриц a и b найдём матрицу, об- ратную матрице Z.

Z-1=

4,479E-05 -9,249E-05	-9,249E-05 0,0002	4,77E-05 -9,849E-05	-0,0412 0,0267	2,3185 -0,9603
4,77E-05	-9,849E-05	5,079E-05	0,0145	-0,3582
-0,0412 2,3185	0,0267 -0,9603	0,0145 -0,3582	-15,3651 498,2382	498,2382 -17888,943

Вектор-столбцы a и b выделены линией.

Напомним алгоритм действий для вычисления обратной матрицы Z-1: а)

выделить место, в котором расположится Z-1 (в нашей задаче размерность

5 × 5); б) вызвать функцию МОБР() с помощью опции «fx» – «Вставка функ-

ции»; в) нажать клавишу «F2» и затем комбинацию клавиш

«Ctrl»+«Shift»+«Enter».

Согласно (1) оптимальная структура рисковой части портфеля ценных

бумаг

x (mp)

будет иметь вид:

-0,0412 2,3185

x (mp) = 0,0267 * mp

+ -0,9603. (5)

0,0145 -0,3582

Для составления портфеля с неотрицательными долями вложения (см. за-

мечание 2) решим систему (4):

⎧−0, 0412 m p + 2, 3185 ≥ 0

⎪

⎨0, 0267 mp − 0, 9603 ≥ 0

⎪

⎩0, 0145 m p − 0, 3582 ≥ 0

Получим

mp ∈[35, 9663;56, 2743]. Оптимальная ожидаемая эффективность:

opt

35,9663 + 56,2743 46,1203%

mp = 2 =.

Найдём по формуле (5) структуру оптимального портфеля:

0,4183 x(46,1203) = 0,2711

0,3106

Дисперсия эффективности оптимального портфеля:

D (m

) = cm

2 + dm

+ e.

Имеем:

c = aT Va = 7, 6826;

p p p p

d = 2 aTVb = −498, 2382;

e = bT Vb = 8944, 4715.

Использовалась функция умножения матриц МУМНОЖ(), для которой приме-

ним тот же алгоритм а)-в).

В соответствие с (2) функция оптимального риска фондового портфеля будет иметь вид:

σ (m) =

7, 6826 m

2 − 498, 2382 m

+ 8944, 4715.

p p p p

m

Подставляя ожидаемую эффективность

риск портфеля: σ p (46,1203) = 48, 0322%.

opt p

= 46,1203%, найдём оптимальный

2) На данном этапе нужно найти оптимальную, не зависящую от склонно-

сти инвестора к риску структуру рисковой части портфеля

x (mp *), если при-

нять во внимание, что имеются безрисковые ценные бумаги с эффективностью

r 0 = 5%. Требуется рассчитать ожидаемую эффективность

лученного портфеля.

Из уравнения касательной (3), выводится формула:

mp *

и риск σ p *

по-

В нашем случае

mp * =

mp * = 36, 5384%.

dr 0 + 2 e.

−2 cr 0 − d

Согласно (5), находим оптимальную структуру рисковой части фондового портфеля:

0,8136 x(36,5384) = 0,0141

0,1723

Оптимальный риск портфеля: σ p * = σ p (36, 5384) = 31, 5642%.

3) Последняя часть задачи предполагает найти оптимальный комбиниро-

ванный портфель ценных бумаг. В портфель инвестируется

C = 4000

грн., из

которых 25% вкладывается в безрисковые ценные бумаги, а оставшиеся 75% –

в рисковую часть портфеля. Т.о. доля безрисковой части составляет

x 0 = 0, 25, а

рисковой – 1 − x 0 = 0, 75. В денежных средствах это, соответственно, составляет

Cx 0 =1000

грн. и

C (1 − x 0) = 3000

грн. Т.е. из 4000 грн. сумма 1000 грн. вклады-

вается в безрисковые ценные бумаги с эффективностью

r 0 = 5%. Оставшиеся

3000 грн. распределяются между тремя рисковыми ценными бумагами. Следо-

вательно, комбинированный портфель состоит из 4-х ценных бумаг. Его струк-

тура

xC определяется следующим образом:

⎛ x 0 ⎞

−

⎜ ⎟

⎜ x 1 (1 x 0) ⎟

xC = ⎜ x 2 (1 − x 0) ⎟

⎜ ⎟

⎝ n 0 ⎠

⎜... ⎟

Для нашей задачи имеем:

⎜ x (1 − x) ⎟

0,2500

xC = 0,6102

0,0105

0,1293

Умножив, каждую из долей вложения

ние вложений в денежных средствах:

xC на

C = 4000

грн., найдём распределе-

1000 грн.

xC = 2440,68 грн.

42,24 грн.

517,08 грн.

Ожидаемая эффективность комбинированного портфеля mC

σ C определяются, соответственно, по формулам:

и его риск

mC = r 0 x 0 + mp * ⋅(1 − x 0),

Имеем:

σ C = σ p * ⋅(1 − x 0).

mC = 5 ⋅ 0, 25 + 36, 5384 ⋅ 0, 75 = 28, 6538%,

σ C

Задание выполнено.

= 31, 5642 ⋅ 0, 75 = 23, 6732%.

Приложение Б. ТЕОРИЯ ИГР И ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРО-

Дата добавления: 2014-01-07