Анализ и синтез работы комбинационных устройств

0 1

Ответ:45,75₁₀ = 101101,11₂

Рисунок 1

Для обратного перевода достаточно сложить веса единичных разрядов двоичного числа

В таблице 1 представлен натуральный ряд десятичных чисел в порядке возрастания, которым соответствует свой двоичный эквивалент.

Таблица 1

Продолжение таблицы 1

								∙∙∙
								∙∙∙

Недостатки данного способа кодирования десятичных чисел: а) для увеличения диапазона однозначности десятичных чисел нужно увеличивать разрядность устройств; б) технически трудно реализовать переход от натурального кода к десятичной системе.

Этих недостатков лишена двоично-десятичная система кодирования, которая присваивает каждой десятичной цифре от 0 до 9 свой двоичный эквивалент в виде тетрады, то есть четырехразрядного двоичного числа. При таком способе кодирования, например, десятичное число 37 можно представить, согласно таблице 1, как 0011 0111. Таким образом, при двоично-десятичном кодировании сохраняется десятичная система счисления при двоичном форме представления десятичных чисел.

Математической базой для анализа и синтеза работы цифровых устройств служит алгебра логики, в основе которой лежат три логические функции: логическое сложение (дизъюнкция), логическое умножение (конъюнкция) и логическое отрицание (инверсия). На рисунке 2 представлены логические элементы ИЛИ,И,НЕ соответственно реализующие эти функции.

ИЛИ И НЕ

			х			Y

∙ ∙

∙ ∙

Рисунок 2

При логическом сложении входных двоичных переменных выход всегда будет равен логической 1, если хотя бы на один вход логического элемента ИЛИ поступает логическая 1. На выходе будет логический 0, если на все входы поступают логические 0. При логическом умножении входных двоичных переменных выход всегда будет равен логическому 0, если хотя бы на один вход логического элемента И поступает логический 0. На выходе будет логическая 1, если на все входы поступают логические 1. При логическом отрицании выход логического элемента НЕ всегда инвертирует двоичное значение его входа. На практике большим применением пользуются комбинированные логические элементы ИЛИ-НЕ, И-НЕ, которые выполняют две логические функции: логическое сложение с отрицанием результата и логическое умножение с отрицанием результата соответственно. Логичесие элементы И,ИЛИ,НЕ составляют основной базис при построении логических устройств, а комбинированные логические элементы - универсальный базис.

Логическую функцию можно задать структурной формулой, то есть равенством, в левой части которого записана буква, обозначаюшая логическую функцию, а в правой – логическое выражение.

Существуют две формы записи логических выражений: совершенная дизъюнктивная нормальная форма (СДНФ) и совершенная конъюнктивная нормальная форма (СКНФ).

СДНФ – это логическая сумма минтермов, на которых логическая функция равна единице. Минтерм – это логическое произведение входных переменных, преставленных с отрицанием или без него.

СКНФ – это логическое произведение макстермов, на которых логическая функция равна нулю. Макстерм – это логическая сумма входных преременных, представленных с отрицанием или без него.

При проектировании цифровых устройств часто требуется преобразовать структурные формулы. Для этого используют соотношения, вытекающие из аксиом и законов алгебры логики.

Рассмотрим некоторые аксиомы, справедливость которых можно подтвердить, используя рассмотренные выше правила логического сложения, умножения и инверсии.

Пусть - некоторая логическая переменная, тогда

В алгебре логики для логических операций сложения и умножения справедливы законы обычных арифметических операций сложения и умножения: переместительный и сочетательный. У распределительного закона только первая его часть (правило раскрытия скобок) соответствует обычной алгебре, а вторая часть (правило взятия в скобки) имеет место только в алгебре логики.

Рассмотрим некоторые правила алгебры логики, имеющие наибольшее практическое использование для преобразования структурных формул. Правило де Моргана и Это правило позволяет заменить логическое умножение сложением и наоборот. Правило склеивания и На правиле склеивания основаны графические методы карт Карно или диаграмм Вейча для минимизации логических функций.

ЛЕКЦИЯ №2

Содержание лекции:

- этапы синтеза комбинационного устройства, анализ работы типовых комбинационных схем.

Цели лекции:

- изучить формы представления логических функций, освоить методы их минимизации и построения структурных схем, получить навыки анализа работы типовых комбинационных микросхем.

Комбинационное устройство (КУ) – это логическое устройство, выход которого определяется только состоянием его входа, то есть зависит от того, какой набор из входных переменных подается в данный момент времени. На рисунке 3 представлено КУ с тремя входами и одним выходом.

  КУ

Рисунок 3

Логическую функцию можно задать таблицей истинности, которая для трех входных переменных представлена в таблице 2.

Таблица 2

N

В столбцах таблицы 2 записаны возможные наборы значений входных переменных и соответствующие им заданные значения логической функции.

Логическую функцию можно также задать структурной формулой, то есть равенством, в левой части которого записана буква, обозначающая логическую функцию, а в правой – логическое выражение. Запись, содержащая двоичные переменные, соединенные знаками логического сложения, умножения и инверсии, называется логическим выражением.

Существуют две формы записи структурной формулы: совершенная дизъюнктивная нормальная форма (СДНФ) и совершенная конъюнктивная нормальная форма (СКНФ).

СДНФ – это логическая сумма минтермов, на которых логическая функция равна 1. Минтерм – это логическое произведение входных переменных, представленных с отрицанием и без него. По данным таблицы 2 запишем структурную формулу в виде СДНФ, причем знаки инверсии ставим над теми входными переменными, которые равны 0.:

Поскольку каждому набору входных переменных соответствует свой десятичный эквивалент, то структурную формулу можно представить в сокращенном виде .

СКНФ – это логическое произведение макстермов, на которых логическая функция равна 0. Макстерм – это логическая сумма входных переменных, представленных с отрицанием и без него. По данным таблицы 2 запишем структурную формулу в виде СКНФ, учитывая, что знак инверсии ставится над теми входными переменными, которые равны 1:

Структурная формула в сокращенном виде имеет вид .

Для минимизации структурных формул используются следующие методы: а) графический метод карт Карно или диаграмм Вейча при числе аргументов Х ≤ 5; б) при Х > 5 - метод Мак-Класки [ ].

Приведем пример минимизации вышеприведенных структурных формул методом карт Карно. Количество клеток карты определяется по формуле , где n – число входов.

На рисунке 4 приведена заполненная по таблице 2 карта Карно. Из рисунка 4 видно, что каждому набору из входных переменных Х₃Х₂Х₁ соответствует свое значение логической функции в сооветствующей клетке.

  Х₂Х₁

			1

СДНФ: объединяют логические 1

00 01 11 10 СКНФ: объединяют логические 0

	Х3

1

Рисунок 4

Объединять в карте можно клетки в количестве по модулю два (2,4,8,16), по горизонтали или вертикали, рядом находящиеся или на противоположных сторонах. При объединении двух клеток пропадает одна переменная, при объединении четырех клеток – две переменные, при объединении восьми клеток – три переменные, если в объединенном пространстве эти переменные принимают противоположные значения 1 и 0.

Применяя эти правила к нашему примеру получим следующие минимизированные структурные формулы:

ДНФ: ; КНФ: .

Анализируя полученные выражения делаем вывод, что для их схемной реализации в основном базисе (И,ИЛИ,НЕ) понадобится одинаковое число логических элементов (пять штук). Для реализации в универсальных базисах И-НЕ или в ИЛИ-НЕ над выражениями надо поставить две инверсии и применить правило де Моргана:

,

.

Из полученных выражений видно, что число логических операций, а значит и логических элементов, в обоих случаях выросло до шести, однако однотипность использования логических элементов делает такую схемную реализацию более привлекательной. На рисунке 5 показан пример структурной схемы в базисе И-НЕ.

Х₃ Х₂ Х₁

Рисунок 5

Исходя из приведенного примера можно сделать вывод, что синтез КУ целесообразно разбить на ряд этапов:1) запись условий функционирования КУ, которые задаются как логическая функция словесно, таблицей истинности или готовой структурной формулой; 2) запись и минимизация структурной формулы; 3) запись минимизированной структурной формулы в заданном базисе; 4) составление структурной схемы.

В цифровой технике при построении сложных устройств широко применяются не только отдельные логические элементы, но и их комбинации в виде типовых структур, выполняемых как единое целое в виде интегральных микросхем. На рисунке 6 представлены условные обозначения таких типовых комбинационных устройств, как дешифратор с организацией 3 на 8 и прямыми выходами, демультиплексор с организацией ¼, информационным входом D, инверсными выходами и адресными входами 1,2, сумматор по модулю 2 и полный сумматор.

Дешифратор (DC-decoder) предназначен для распознавания кодовых комбинаций, каждой из которых соответствует свой выход, на котором, в случае прямых выходов фомируется логическая 1, а в случае инверсных – логический 0. Количество выходов дешифратора определяется из соотношения , где n – число входов. Шифратор (CD-coder) выполняет операцию, противоположную дешифратору, то есть кодирует поступающую на его входы информацию.

Демультиплексор (DMS) используется для передачи информации с одного информационного входа на один из выходов в желаемом порядке. Выбор того или иного выхода осуществляется двоичным кодом, поступающим на адресные входы. Число выходов определяется из соотношения , где - число адресных входов. Мультиплексор (MS) выполняет задачу, обратную демультиплексору, то есть передает информацию в желаемом порядке c нескольких входов,на один выход, для чего на его адресные входы подается соответствующий двоичный код.

М2

Сумматор – это устройство, предназначенное для арифметического сложения двоичных или двоично-десятичных чисел. Простейшим сумматором является сумматор по модулю 2, который выпускается под названием ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ. Он имеет два входа и один выход и способен выдавать логическую 1 только при поступлении на его входы двух неравнозначных сигналов (1 и 0). Применяется для проверки цифровых схем на четность или нечетность. Полный сумматор предназначен для арифметического сложения двух одноразрядных двоичных чисел, для чего он имеет два входа, а третий вход является входом переноса и нужен для сложения многоразрядных чисел. Два выхода сумматора участвуют в формировании суммы и переноса. При последовательном соединении полных сумматоров можно получить сумматор для сложения многоразрядных чисел, причем их количество должно соответствовать числу разрядов складываемых чисел.

DMX 0 1 1/4 2 1     D 3  

DC 0 1 1 2 3 4 5    

Рисунок 6

ЛЕКЦИЯ №3

Дата добавления: 2014-01-07