II.Численные методы решения нормальных краевых задач для уравнений параболического типа. №13

I. Введение. Постановка задачи.

Реализация математических моделей, основанных на уравнениях в частных производных.

Метод Линеаризации

Самосопряженная формула

Уравнения с переменными коэффициентами (метод прогонки)

– самосопряженный вид

Дивергентный вид умножают на и приводим к самоспоряженному

(14) y(0)=y(1)=0

В уравнении (13) будем аппроксимировать дифференциальные операторы:

Самосопряженная формула более удобна

(1)

i-1/2

i+1/2

i-1

i+1

i

– симметричная дифиренцируемый оператор

– и решаем любым из методов

(5) - расчетная формула позволяет получить: x=1,

проверяем или нет.

Если задаем новое приближенное значение

(6) ⇒(5), получаем

Проверяем

задача решена,

если то берем

и снова сравниваем

(в зависимости от того <, > B)

и так пока не достигнем нужной точности:

      B         x=1

Стараемся от нелинейного перейти к линейному уравнению.

Уравнения в частных производных делятся на:

ü уравнения эволюционные

ü стационарные уравнения

1. Эволюционные уравнения – одна переменная зависит от времени t остальные переменные – пространственные, – эволюционная переменная.

Искомая функция, задается нулевое состояние.

Эволюционные уравнения делятся на два типа:

1) Уравнения параболического типа. Они описывают плавно изменяющиеся монотонные процессы (например: диффузия вещества во времени, распространение тепла во времени) – уравнение теплопроводности.

2) Уравнения гиперболического типа. Решение этих уравнений зависит от времени. Уравнения колебаний. Типичный представитель – волновое. Может сопровождаться скачками и волновыми скачками во времени.

2. Стационарные уравнения, не зависят от времени.

Примером таких уравнений служит уравнение напряженности электромагнитного поля.

Типичные представители: уравнение Лапласа и уравнение Пуассона, уравнение Гельмгольца. Эти уравнения являются уравнениями эллиптического типа.

Параболическое уравнение.

Искомая функция – это функция температуры,. Будем считать, что зависит только от и от.

– теплоемкость материала,.

– коэффициент теплопроводности,.

– коэффициент теплообмена.

– наружная температура, задана,.

– распределенные источники провода, они должны быть заданы.

.

.

, – масштаб.

– длина стержня,,

– необходимо найти.

Начально-краевые задачи.

При задаются начальные условия.

Задается два граничных условия:

Волновое уравнение.
Гиперболические уравнения.

при требуется задать два условия:

, – задача Дирихле, первого рода.

– задача Неймана, второго рода.

Методы разделения переменных для решения уравнений теплопроводности.

разделим левую и правую часть на T и на X. Получим:

Рассмотрим задачу (5):

Задача Штурма-Лиувилля. Заключается в решении задачи (7) при условии (8).

(9)

Рассмотрим задачу (6):

(6')

но только при условии (9)

Формула (7) называется явная разностная схема условно устойчивой. Она устойчива при условии

Рассмотрим, как отличаются

Второй вид уравнения:

- уравнение называется характеристическая форма уравнения (1)

Перепишем его в новом виде:

Из (7) получаем: (8)

(8) подставим в (4')

Эти три параметра описывают состояние проводника

(1),(2),(3) – модель ребра (отрезков)

Эта модель была построена на основе элементов электродиномики, закон Ома.

Рассмотрим теперь узлы: Построим модель узла.

j

m₁

m₃  

m₂  

(j) Киргоф

- закон сохранения энергии электричества

Узел-источник:

Узел-потребитель:

Неизвестных 3М=, уравнений М=4 участка, m=1,…,M, j=7,…,J

2J= 1+3+1+3+2+1+ – условия прилегания.

+5 – условия баланса

13+4=⑰+5

Дата добавления: 2014-01-07