Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Контур с током в магнитном поле




Рассмотрим прямоугольный (ориентированный) контур 12341 с постоянным током, находящийся в однородном магнитном поле. Направление нормали к контуру и направление тока в контуре согласованы правилом правого винта (буравчика). Пусть сила тока в контуре I, B – величина индукции магнитного поля, a - угол между нормалью к контуру и вектором. Пусть длина стороны 12 равна a, а стороны 23 – b.

Рассмотрим несколько различных случаев.

F 12
B
F 23
F 41
 
 
 
 
n
F 34
I
I
I
I
1) Пусть угол a=0, т.е. векторы и сонаправлены.

На стороны прямоугольника действуют силы

,. Векторы всех сил лежат в одной плоскости и растягивают контур. Сумма сил равна нулевому вектору, и суммарный момент сил – тоже нулевой вектор.

Если угол a=p, то силы сжимают контур.

B
F 23
F 41
 
 
 
 
n
I
I
O2
O2
М
2) Пусть a=p/2 и вектор параллелен стороне 12. В этом случае,. Сумма сил равна нулевому вектору, но суммарный момент сил равен моменту пары сил (например, относительно оси О1О2)

. А вектор момента сил лежит на оси О1О2 (т.к. векторы сил стремятся развернуть контур вокруг этой оси).

Напоминание – направление вектора момента силы вдоль оси согласовано с возможным направлением поворота под действием силы вокруг этой оси правым винтом.

B X
B Z
Y
B Y
X
Z
a
 
 
 
 
n
B
I
3) Рассмотрим случай, когда вектор направлен произвольным образом. Введём декартову систему координат, начало которой поместим в центре прямоугольника, ось Z направлена вдоль нормали, а оси X и Y параллельны сторонам прямоугольника.

Тогда в координатной записи.

Расписываем проекции моментов сил на оси

,,. Для этого контура вектор магнитного момента равен, его координаты.

Утверждение. Момент сил, действующий на контур с током в магнитном поле равен

.

(Замечание! Здесь и ниже в векторном произведении квадратные скобки заменены на круглые, но а знак умножения «» как символ векторного произведения, естественно, сохранён.)

Доказательство. Это утверждение легко проверить во введённой декартовой системе координат. Действительно.

Следствие. Величина момента сил, действующих на контур с током в магнитном поле равна

.

Отсюда следует, что вектор момента силы равен нулю в двух случаях: при a=0 и a=p. Но положение равновесия при a=p является неустойчивым. Следовательно, момент сил стремится развернуть контур так, чтобы вектор магнитного момента был сонаправлен вектору индукции магнитного поля.

Пример. Рассмотрим заряженное тонкое кольцо, которое вращается в магнитном поле вокруг оси кольца (проходящей через центр, перпендикулярно плоскости). Радиус кольца R, заряд q <0, масса m, угловая скорость w. Угол между осью вращения и вектором индукции магнитного поля равен a.

I
pm
L
B
n 1
Z
Y
X
n 2
Решение. Найдем силу тока, создаваемого вращающимся заряженным кольцом. Через любое поперечное сечение кольца весь заряд q пройдёт за время полного оборота Т, поэтому

.

Т.к. заряд кольца отрицательный, то положительное направление для тока – против направления вращения кольца. Этот ток создаёт магнитный момент

,

где направление вектора единичной нормали к площадке, ограниченной кольцом, согласовано с направлением тока в кольце правилом буравчика.

Но у вращающего кольца есть и (механический) момент импульса, направленный вдоль оси вращения так, что его направление согласовано с направлением вращения правилом буравчика. Здесь - момент инерции кольца относительно сои вращения, а направление вектора единичной нормали согласовано с направлением вращения правилом буравчика. Т.е. векторы и направлены вдоль оси вращения, но в противоположных направлениях.

Введём декартову систему координат, ось Z которой направлена вдоль вектора магнитной индукции, тогда можно записать в координатной форме,,.

Рассмотрим основное уравнение динамики вращательного движения.

На контур с током в магнитном поле действует момент внешних сил, вектор которого направлен перпендикулярно к вектору. Но векторы и лежат на одной прямой (только направлены в разные стороны), поэтому векторы и тоже перпендикулярны друг другу. Следовательно, их скалярное произведение равно нулю. Поэтому, откуда, т.е. величина вектора остаётся постоянной. Но, следовательно, величина угловой скорости вращения кольца тоже постоянная. Подставим в уравнение соответствующие величины

 

или

.

Но, поэтому в координатной форме получаем следующие три уравнения

,,.

Из первого и второго уравнений

или,

или.

L
Y
I
pm
B
n 1
Z
X
n 2
A
wA
 
M ВНЕШ
I A
pm A
Рассмотрим на плоскости (X, Y) точку А, координаты которой (x, y). Т.е. точка А соответствует проекции конца вектора нормали на плоскость (X,Y). Из уравнений следует, что эта точка одновременно совершает два взаимно перпендикулярных колебания в этой плоскости, частоты которых одинаковые (т.е. траектория этой точки – фигура Лиссажу). Следовательно, траектория точки А в плоскости (X,Y) – либо отрезок прямой, либо (в данном случае) окружность. Из третьего уравнения следует, что Z-координата вектора нормали не меняется, т.е. угол между вектором индукции и нормали к площадке контура остаётся постоянным, поэтому траектория конца вектора – окружность. Таким образом, векторы и вращаются вокруг вектора так, что «заметают» поверхности конусов, осью которых является вектор индукции. Это значит, что у контура появляется дополнительное вращение вокруг вектора с циклической частотой. Из уравнения динамики вращательного движения следует, что вектор направлен также как и, поэтому направление вращения вектора (и точки А) происходит против направления основного вращения кольца. Это вращение приведёт к тому, что появится составляющая тока I A, параллельная плоскости (XY) и поэтому возникнет дополнительный магнитный дипольный момент, направленный против вектора.

Т.к. на плоскости (XY) вращающееся кольцо проецируется во вращающийся эллипс с главными полуосями,, и который «заметает» площадь, то величина дополнительного магнитного момента

.

Таким образом, у кругового (незакрепленного) проводника с током в магнитном поле появляется дополнительный магнитный момент, вектор которого направлен против индукции внешнего магнитного поля, а величина пропорциональна B.

Замечание. Движение оси кругового тока вокруг направления магнитного поля называется прецессией, частота прецессии магнитного момента называется Ларморовой частотой.

 

Лекция 8. Магнитное поле в веществе.

Намагниченность вещества. Вектор напряжённости магнитного поля и его связь с векторами индукции и намагниченности. Магнитная восприимчивость и магнитная проницаемость. Поле на границе раздела магнетиков. Физическая природа диа- и парамагнетизма. Ферромагнетики.

 

Опыт показывает, что в веществе магнитное поле изменяется по сравнению с магнитным полем в вакууме. Всякое вещество является магнетиком, т.е. способно под действием магнитного поля приобретать магнитные свойства (намагничиваться). При этом вещество создаёт собственное магнитное поле, поэтому по принципу суперпозиции в веществе

.

На микроскопическом масштабе внутри вещества магнитное поле сильно изменяется и в пространстве и во времени, поэтому при описании рассматриваются усреднённые величины. По классическим представлениям, предложенным Ампером, в веществе циркулируют микроскопические круговые токи (атомарные и молекулярные токи), каждый из которых создаёт в окружающем пространстве магнитное поле. В отсутствии внешнего магнитного поля магнитные моменты этих токов ориентированы хаотически, и их векторная сумма в физически малом объёме равна нулю. При внесении магнетика в магнитное поле магнитные моменты микроскопических токов ориентируются в определённом направлении, поэтому в целом суммарный дипольный момент такого объёма уже не равен нулю.

Для характеристики магнитных свойств вещества введён вектор намагниченности вещества – усреднённый суммарный магнитный момент единицы (физически малого) объёма

,

единицы измерения величины намагниченности – А/м (Ампер/метр).

Рассмотрим в веществе теорему о циркуляции. Суммарное магнитное поле создаётся суммарной плотностью тока – векторной суммой микроскопических (атомарных и молекулярных) токов и макроскопических токов (вызванных переносом сторонних зарядов – их называют токами проводимостиили сторонними токами).

Так как и, то из выражения следует, что для определения магнитной индукции в веществе надо знать плотность молекулярных токов.

Выделим внутри вещества (магнетика) какую-то ориентированную (незамкнутую) поверхность S и найдем поток плотности молекулярного тока через эту поверхность.

Г
S
I М
I М
dS
dl
pm
a
pm
pm
Те молекулярные токи, которые не охватывают край этой поверхности, будут пронизывать эту поверхность дважды – в прямом и обратном направлении, поэтому их вклад в поток равен нулю:.

Для рассмотрения потока от токов, охватывающих край, выделим настолько малую часть поверхности с примыкающим краем, чтобы все молекулярные токи, которые охватывают край, можно было считать одинаково ориентированными. Пусть длина граничной линии этой части равна dl. Предположим, что векторы магнитных моментов молекулярных токов направлены под углом a к этой части граничной линии. Выделим косой цилиндр, осью которого является часть граничной линии, а основанием – молекулярный круговой ток, площадь контура которого S М. Этот цилиндр отсекает от поверхности S кусок, площадь которого dS. Тогда поток плотности молекулярного тока через этот кусок dS равен суммарному молекулярному току всех попавших в цилиндр круговых токов:

.

Объём цилиндра, сумма проекций векторов магнитных моментов на ось цилиндра. Так как, то.

Поэтому вблизи края поверхности можно записать равенство:

или,

где dS – часть поверхности вблизи края. Соответственно, вдоль всего её края Г:

.

Но всю поверхность S можно разбить на две части. Так как, то можно записать равенство

,

т.е. циркуляция вектора намагниченности вдоль края любой ориентированной поверхности внутри магнетика равна потоку плотности молекулярного тока через эту поверхность.

Используя теорему Стокса, можно переписать это равенство в виде

,

откуда следует дифференциальная форма теоремы о циркуляции для вектора:

.

Подставив это соотношение в равенство, получим

или.

Введём вектор напряжённости магнитного поля

,

(единицы измерения величины напряжённости: А/м (Ампер/метр)), тогда получаем теоремуо циркуляции (в дифференциальной форме) для вектора напряжённости магнитного поля:

,

откуда можно получить теорему о циркуляции в интегральной форме. Пусть - алгебраическая сумма сторонних токов (токов проводимости), пронизывающих некоторую незамкнутую ориентированную поверхность внутри магнетика, тогда

,

т.е. циркуляция вектора напряжённости магнитного поля вдоль края любой ориентированной поверхности внутри магнетика равна алгебраической сумме токов проводимости через эту поверхность.

Правило знаков для тока остаётся прежним: если направление тока через площадку составляет с вектором нормали к площадке угол меньше прямого, то знак положительный, если больше – то отрицательный.

В однородном изотропном магнетике (для слабых полей) векторы намагниченности и напряжённости совпадают по направлению:

,

Где безразмерный коэффициент c называется магнитной восприимчивостью вещества.

Поэтому выражение в однородном изотропном магнетике можно записать в виде:

.

Величина называется относительной магнитной проницаемостью вещества.

Поэтому в однородном изотропном магнетике

.

m1
m2
dS 1
dS 2
B 1
B 2
dS БОК
Соотношения для векторов магнитного поля на границе раздела магнетиков.

Рассмотрим плоскую границу раздела двух магнетиков, с обеих сторон от которой магнитное поле можно считать однородным.

По теореме Гаусса для магнитного поля

.

В качестве поверхности S возьмём прямой цилиндр, основания которого параллельны границе, и граница делит этот цилиндр пополам. Тогда

.

При стягивании цилиндра к границе, поэтому

.

Таким образом, на границе должно выполняться соотношение

,

т.е. при переходе через границу раздела магнетиков нормальная составляющая вектора индукции магнитного поля не изменяется.

Теперь воспользуемся теоремой о циркуляции для вектора напряжённости магнитного поля:

m1
m2
dl
H 1
H 2
Г
 
 
 
 
.

В качестве замкнутой траектории рассмотрим прямоугольник, две стороны которого параллельны границе раздела магнетиков, и граница делит прямоугольник пополам. Выбираем направление обхода контура по часовой стрелке. Тогда

.

При стягивании контура к границе и, поэтому

,

где l – длина контура вдоль границы раздела магнетиков.

Поэтому. Если ввести суммарную линейную плотность токов проводимости на границе раздела магнетиков, то

.

Изменение величины касательной проекции вектора напряженности магнитного поля при переходе через границу раздела равно линейной плотности токов проводимости на границе раздела магнетиков.

Если ток проводимости на границе раздела магнетиков отсутствует:, то

,

т.е. при переходе через границу раздела магнетиков (при отсутствии тока) касательная составляющая вектора напряжённости магнитного поля остаётся неизменной.

i ПОВ_М
По аналогии можно написать для вектора намагниченности

:

при переходе через границу раздела магнетиков изменение величины касательной составляющей вектора намагниченности магнитного поля равно поверхностной плотности молекулярных токов.

Внутри магнетика суммарный молекулярный ток через любую поверхность равен нулю. Но на границе магнетика токи не «компенсируют» друг друга, поэтому появится поверхностный ток.

Рассмотрим преломление силовых линий на границе раздела:

,

m1
m2
B 1
B 2
a1
a2
т.е. силовые линии больше отклоняются от нормали со стороны магнетика с большей магнитной проницаемостью. В этом смысле говорят, что магнетики с большей магнитной проницаемостью конденсируют магнитное поле. На этом явлении основан принцип применения магнитопроводов. Если в замкнутом контуре, выполненном из магнетика с большей m, создать магнитное поле (например, с помощью катушки с током), то силовые линии магнитного поля практически не выйдут из контура.

 




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-06; Просмотров: 665; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.082 сек.