Закон Бугера. Рассеяние света

Электронная теория дисперсии. Нормальная и аномальная дисперсия.

Лекция 12. Взаимодействие электромагнитных волн с веществом.

Рассмотрим классическую модель взаимодействия электромагнитного излучения с веществом. Эта модель приводит к качественно верным результатам, но достоинством её рассмотрения является простота описания.

При прохождении электромагнитной волны через вещество на заряженные частицы, входящие в атомы (и молекулы) вещества, будет действовать сила Лоренца

.

Найдем отношение величин магнитной и электрической составляющих этой силы

.

Движение частиц в атомах ограничено в пространстве (как говорят, движение является финитным), поэтому его можно представить как колебания вблизи (усреднённых) положений равновесия. Амплитуда скорости частиц связана с амплитудой колебаний. Циклическая частота вынужденных колебаний совпадает с частотой волны, поэтому

.

Из этого соотношения видно, что магнитная сила по величине много меньше электрической, если амплитуда колебаний много меньше длины волны.

При рассмотрении движения заряженных частиц, входящих в состав атомов вещества, амплитуда колебаний не превышает размеров атомов, т.е. м. Следовательно, в случае электромагнитной волны, например, видимого света, для которой м условие можно считать выполненным.

Это означает, что можно пренебречь магнитной силой (и сообщаемым ею ускорением) и рассматривать вынужденные колебания заряженных частиц в неподвижных атомах как линейные колебания электронов вдоль направления вектора.

Рассмотрим плоскую монохроматическую электромагнитную волну, распространяющуюся вдоль оси X, в которой для вектора напряжённости

.

Пусть волна линейно поляризована вдоль Y. Тогда вектор напряжённости в координатах имеет вид и.

Предположим, что в точке с координатами находится заряженная частица массы m и зарядом q. Уравнение движения частицы вдоль оси Y:

,

где

- сила упругости, возникающая при смещении частицы от положения устойчивого равновесия (как следует из лекций предыдущего семестра для квазиупругой силы);

- вынуждающая сила со стороны электромагнитной волны;

- сила радиационного трения.

Т.е.

.

Обозначим и перепишем уравнение.

Проделаем некоторые очевидные преобразования:

- сначала вычтем из обеих частей равенства выражение, где a - вещественное число:

;

- затем в правой части вычтем и прибавим слагаемое, пропорциональное:

.

Если потребовать выполнение равенства, то можно ввести новую переменную, где константа a определяется из кубического уравнения. Т.к. это алгебраическое уравнение нечётной степени, то оно обязательно имеет, хотя бы один, вещественный корень a.

Теперь найдем знаки у коэффициентов дифференциального уравнения.

Т.к., то, откуда, следовательно. Если ввести новые обозначения и, то новая переменная будет являться решением обыкновенного дифференциального уравнения или

.

Это уравнение вынужденных колебаний. Как известно из предыдущего семестра (см. лекции 1-го курса), в этом случае общее решение является суммой решений: затухающего с течением времени:, и решения, описывающего вынужденные колебания с частотой вынуждающей силы:

.

Замечание. Зная какое-либо решение для переменной s, можно найти решение и для переменной y из дифференциального уравнения.

Например, для вынужденных колебаний

решение имеет вид, где. Таким образом, амплитуда пространственных колебаний такая же, как и амплитуда колебаний величины s. Поэтому эта амплитуда равна

, где.

A _ВЫН

E ₀

d

Фаза вынужденных колебаний отличается от фазы вынуждающей силы на величину q, где

,

поэтому общая величина сдвига фазы.

На амплитудно-векторной диаграмме видно, что проекция вектора амплитуды вынужденных колебаний на направление вектора амплитуды напряжённости электрического поля волны равна:

.

В зависимости от частоты эта проекция может быть как положительной, так и отрицательной, так как тоже зависит от частоты.

При колебаниях электроны движутся с ускорением, поэтому излучают электромагнитные волны такой же частоты, что и частота падающей волны. Мощность излучения пропорциональна квадрату ускорения. При колебаниях амплитуда ускорения равна. Следовательно, мощность излучения электронов под действием падающей волны пропорциональна 4й степени частоты волны. Это излучение называется рассеянным излучением.

Атомы (и молекулы) вещества могут тоже совершать колебания под действием падающей волны. Кинетическая энергия колебаний пропорциональная квадрату скорости, т.е. квадрату частоты колебаний. Увеличение кинетической энергии колебаний приводит к увеличению внутренней энергии тела. Таким образом, часть энергии волны поглощается веществом.

Дата добавления: 2014-01-06