Предельный переход от волновой оптики к геометрической

Дифракция Фраунгофера от щели.

x

b

j

P

D

Рассмотрим дифракционную картину от узкой длинной щели шириной b, на которую нормально падает плоская волна. Элементарные участки волнового фронта в форме узких длинных полосок, параллельных краям щели, становятся источниками вторичных волн. Разобьём волновую поверхность в щели на маленькие участки dx, каждый из них, находясь на расстоянии x от края щели, создаёт в точке P колебание:

,

где - геометрическая разность хода лучей от края щели и от луча на расстоянии x от края. Здесь множителя в амплитуде нет, поскольку рассматриваются плоские волны. Каждая полоска шириной dx даёт одинаковый вклад амплитуды:, где А ₀ – амплитуда волны.

Тогда для всей щели:,

.

С учетом получаем амплитуду колебаний в точке Р:

.

При j<<1 амплитуда в точке Р равна амплитуде падающей волны:, а при выполнении условия, где m – целое число, амплитуда равна нулю:. Поэтому для интенсивности волны в направлении задаваемом углом j:

0,2

0,4

0,6

0,8

I/I₀

-2

-1,5

-1

-0,5

0,5

1,5

j

.  

. При этом.

При j=0 находится центральный максимум:, значительно превосходящий по величине остальные максимумы.

Условие минимумов:, где m – целое число. Центральный максимум ограничен с двух сторон первыми минимумами, положение которых задаётся углом:.

Дифракционная картина на экране в этом случае будет иметь вид чередующихся тёмных и светлых полос, причем яркость светлых сильно убывает по направлению от центральной полосы. Можно сказать, что на экране не будет резкого перехода от света к тени.

j

b × sin j

l/2

2 m

Рассмотрим условие минимумов для интерференционной картины от щели подробнее. Перепишем равенство в виде. Выражение можно трактовать как сумму чётного числа 2 m длин полуволн. Т.е. в случае минимума интенсивности всю щель можно разбить на чётное число одинаковых участков так, что разность хода волн от граничных точек двух любых соседних участков до точки наблюдения равна. Но в этом случае, как известно, в точке наблюдения будет минимум интенсивности.

j

q

Если свет падает на щель не перпендикулярно, а под некоторым углом q, то разность хода волн от краёв щели равна, поэтому, аналогично, условие минимумов будет иметь вид:

или.

0,2

0,4

0,6

0,8

I/I₀

-1,5

-1

-0,5

0,5

1,5

j

.  

Рассмотрим положение первого минимума для дифракции на щели:

. В случае это выражение можно записать в виде:.

Но при относительные интенсивности всех максимумов, кроме центрального, стремятся к нулю. Поэтому на экране будет видная резкая граница тени от краёв щели. Подобную картину можно получить применением законов геометрической оптики. Однако в данном случае будет наблюдаться небольшое различие относительных размеров изображения щели на экране.

l

j

b

При построении методами геометрической оптики размеры щели и изображения на (параллельно расположенном) экране будут одинаковыми независимо от расстояния l между экраном и перегородкой со щелью.

Если строить изображение щели методом волновой оптики, то граница тени соответствует первому минимуму, положение которого определяется углом. Поэтому относительный размер изображения равен:

.

Следовательно, если величина, то результаты построения методами волновой и геометрической оптики практически совпадают.

В обратном случае надо пользоваться методами волновой оптики. Но тогда следует различать ситуации, в которых либо, либо. Но дифракционные явления становятся заметными, когда размер щели (отверстия) или преграды соизмерим с длиной волны света: b ~l. Тогда условие примет вид:. А это означает, что расстояние от перегородки до экрана много больше размеров отверстия (преграды). Следовательно, лучи, падающие на экран, можно считать параллельными друг другу – это дифракция Фраунгофера. Применяя формулу для радиуса зон Френеля при дифракции Фраунгофера:, и учитывая, что, найдём число зон Френеля, которые видно из точки наблюдения. В этом случае:, т.е. видно только малую часть первой зоны.

Оставшийся случай соответствует дифракции Френеля. Это можно пояснить, используя формулу для радиусов зон Френеля:. Принимая оценку величины отверстия:, получаем:, откуда из следует:. Это выражение означает, что расстояние от источника света соизмеримо с расстоянием от перегородки до экрана. Поэтому волна является сферической и наблюдается дифракция Френеля, при которой из точки наблюдения видно небольшое число зон m.

Замечание. Формулу для первого минимума: можно трактовать следующим образом: параллельные лучи света после прохождения отверстия шириной b отклоняются на угол j, величина которого зависит от отношения. Это отклонение приводит к расхождению лучей – любой пучок параллельных лучей света после дифракции претерпевает «расхождение» на угловую величину, пропорциональную.

Т.к. (в радианах), то закон расхождения лучей при дифракции можно записать в виде: или.

Следовательно, пучков света, состоящих из абсолютно параллельных лучей, быть не может в принципе. Это «запрещено» волновой природой света. Любое устройство, формирующее параллельные лучи, неизбежно будет приводить к явлению дифракции и, соответственно, к расхождению лучей.

Лекция 16. Дифракционная решётка.

Многолучевая интерференция. Дифракционная решётка. Спектральные характеристики дифракционных решёток. Дифракция рентгеновских лучей. Формула Вульфа-Брэгга. Понятие о рентгеноструктурном анализе.

Интерференционная картина, образующаяся при наложении нескольких когерентных волн называется многолучевой интерференцией.

Рассмотрим интерференционную картину, получающуюся при дифракции света на системе параллельных одинаковых щелей. Пусть щели расположены в одной плоскости. Такая система реализуется в оптическом приборе – прозрачной дифракционной решётке. Ширина щели b, расстояние между серединами соседних щелей d называется периодом дифракционной решётки.

d × sin j

j

x

b

j

D

Экран, на котором формируется картина, расположен параллельно и находится в фокальной плоскости собирающей линзы. Свет падает на решётку нормально (т.е. перпендикулярно).

Проведём рассуждения при поиске результирующей амплитуды для системы щелей аналогично рассуждениям для одной щели из предыдущей лекции. Только теперь будем учитывать сумму лучей от N щелей. Во всех щелях выделим луч на расстоянии x от левого края щели. Оптическая разность хода таких лучей в соседних щелях равна. Поэтому результирующая амплитуда определяется вкладом лучей от всех щелей:

Для дальнейших вычислений можно воспользоваться формулой Эйлера:

,

где. (Эта формула является основной в теории комплексного анализа, и часто применяется в теоретических расчётах).

Отсюда, в частности, следует, что и.

Поэтому можно записать:

или, после перегруппировки:

.

Используя формулы для частичной суммы геометрической прогрессии

,

получаем равенство.

Затем проводим преобразования

.

Следовательно

.

Аналогично

.

Тогда

,

,

.

Тогда, учитывая, что, получаем

Т.к.

,

то

.

С учетом получаем амплитуду колебания в точке наблюдения:

.

Так как амплитуда колебаний от одной щели равна:, то амплитуда от N щелей:. Поэтому интенсивность света в дифракционной картине

,

где - интенсивность от одной щели.

Из этих формул следует, что интенсивность центрального максимума (j=0) для системы из N щелей больше интенсивности центрального максимума от одной щели в N² раз:.

Максимумы и минимумы дифракционной картины можно подразделить на главные и вторичные.

Главные максимумы выделяются условием:, т.е..

I_{N, j} / I ₀

N ²× I _{1, j} / I ₀  

-1,4

-1

-0,6

-0,2

0,2

0,6

1,4

j

I_{N, j} / I ₀  

N =4 b /l=1 d /l=5

Пусть (m – целое число) и N - целое число, тогда справедливо при следующее соотношение:. Поэтому главные максимумы определяются условием:, т.е.

.

Целое число m называется номером главного максимума или порядком спектра.

Главные минимумы соответствуют условию минимума интенсивности от одной щели:, т.е., где k – целое число.

Между главными максимумами находятся вторичные максимумы и минимумы. Вторичным минимумам соответствуют условия:. Так как они находятся между соседними главными максимума с номерами m и m +1, то их положение можно определить из соотношения: при условии

. Это выполняется, если и. Целое число n называется номером вторичного минимума. Следовательно, количество вторичных минимумов между любыми двумя главными максимумами на единицу меньше числа щелей N.

Интенсивность вторичных максимумов значительно меньше интенсивности главных максимумов.

Положение главных максимумов и минимумов определяется длиной волны падающего света. Поэтому решетка способна разлагать излучение в спектр, то есть она является спектральным прибором. Если свет немонохроматический, то в спектре будут наблюдаться главные максимумы разных длин волн. Но центральный максимум будет содержать все длины волн. Поэтому он наиболее яркий.

При разложении белого света меньший угол у первого максимума фиолетового цвета, а больший – у красного. В этом смысле дифракционная решётка как спектральный прибор противоположна стеклянной призме в опыте Ньютона, в которой наибольшее отклонение испытывали лучи фиолетового цвета.

Замечание. Интенсивность главных максимумов убывает с ростом номера m. Как правило, на практике количество достаточно различимых максимумов не превышает 3.

Замечание. Если свет падает на дифракционную решетку под углом q, то положение главных максимумов определяется соотношением:

.

Дата добавления: 2014-01-06