Надежность оборудования при общем резервировании

Общее резервирования подразделяют на постоянное резервирование и общее резервирование замещением.

Постоянное резервирование. Рассмотрим надежность резервируемых систем при постоянно включенном резерве. Вывод количественных показателей надежности произведем для систем разового использования при следующих условиях:

– отказы элементов резервированной системы образуют про­стейший поток случайных событий;

– надежность основной и всех резервных систем одинакова;

– переключающие устройства абсолютно надежны.

Следует отметить, что в реальных системах указанные условия выполняются только приближенно. Например, предположение абсолютной надежности переключающих элементов на практике никогда не выполняется. Не учет надежности переключающих элементов не приводит к большим ошибкам, так как при общем резервировании надежность систем вследствиеих сложности обычно значительно ниже надежности небольшого числа переключателей.

при указанных допущениях вероятность безотказной работы любой из т резервных систем и основной системы, которые состоят из п элементов каждая, равна произведению вероятностей безотказной работы всех элементов:

.

Отказ резервированной системы наступает только при отказе основной и всех резервных систем. Поэтому вероятность отказа резервированной системы равна произведению вероятностей отказов каждой системы:

, (3.1)

где Q_c (t) = Q ₀(t) Q ₁(t) Q ₂(t)… Q_m (t) = Q_{m +1}(t) – вероятность отказов любой из

(m +1) систем.

Имея в виду, что

,

вероятность отказа резервированной системы можно представить в виде:

. (3.2)

Так как вероятность безотказной работы системы Р _с(t) = 1 – Q _c(t), то на основании формулы (3.1):

(3.3)

Выражения (3.2) и (3.3) позволяют определить вероятность отказа и вероятность безотказной работы резервированной системы, если известны надежности элементов этой системы.

Согласно сделанному ранее допущению о простейшем характере потока отказов элементов, вероятность безотказной работы каждого элемента системы равна:

.

Поэтому

(3.4)

где – интенсивность отказов любой из т + 1 систем.

На основании формулы (3.4) выражения для вероятности отказа и безотказной работы резервированной системы можно представить в виде:

(3.5)

(3.6)

Полученные выражения позволяют найти другие параметры надежности: частоту и интенсивность отказов, а также определить числовые характеристики времени безотказной работы резервированной системы: математическое ожидание и дисперсию.

Частоту отказов резервированной системы найдем, дифференцируя выражения для вероятности отказов

,

после чего получим

(3.7)

Поскольку интенсивность отказов системы с другими характеристиками надежности связана соотношением

, (3.8)

то она равна

Для определения среднего времени безотказнойработы резервированной системы воспользуемся выражением:

T ₀ = (3.9)

Для вычисления интегралаобозначим = Z, тогда

.

Присоответствующем изменении пределов интегрированиявы­ражение (3.9) представляется в виде:

(3.10)

Преобразуя выражение (3.10), получим

После подстановки пределов интегрирования получим окончательное выражение для среднего времени безотказной работы

(3.11)

Таким образом, основные параметры надежности резервированных систем при общем резервировании и постоянно включенном резерве определяются выражениями (3.2), (3.3), (3.5)–(3.11).

Зависимости параметровнадежности, построенные по указанным выражениям, представленына рис. 3.5–3.8. При этом зависимости λ _с (t) и f_с (t) приведеныпо отношению к интенсивности отказов основной системы.

Оценим относительное изменение надежности систем с постоянным резервированием по отношению к надежности основной резервированной системы.

Рис. 3.5. Зависимость вероятности безотказной работы резервированной системыот времени при различных кратностях общегорезервирования

Рис. 3.6. Зависимость среднего времени безотказной работы резервированной системы от кратности общего резервирования

Рис. 3.7. Зависимостьчастоты отказов от времени при различных кратностях общего резервирования  

Рис. 3. 8. Зависимость интенсивности отказов системы от времени при различных кратностях резервирования

При сделанных выше допущениях выигрыш в надежности резервированной системы равен:

по вероятности безотказной работы

;

по вероятности отказа

;

по частоте отказов

;

по интенсивности отказов

по среднему времени безотказной работы

.

Общее резервирование замещением. Определим параметры надежности систем, резервированных методом замещения при общем резервировании. Для упрощения поставленной задачи сделаем следующие допущения: будем считать, что надежность всех резервных систем до момента замещения основной системы одинакова, восстановление резервированной системы не производится и отказы переключающих устройств отсутствуют.

Определим вначале вероятность безотказной работы для основной и одной резервной систем. Безотказная работа резервированной системы в течение времени t осуществляется в сле­дующих случаях (рис. 3.9):

– за время t не отказала основная система (гипотеза 1);

– основная система отказала в момент времени τ, а включенная вместо нее резервная система оказалась исправной и не отказала в течение времени t –τ (гипотеза 2).

На основаниитеоремы о полной вероятности, вероятность безотказной работы системы резервированной методом замещения в этом случае равна:

(3.12)

где P ₀ (t) – вероятность безотказной работы основной систе­мы в течение времени t; P_{p / 0}(t, τ)– вероятность безотказной работы резервной системы за время t при условии, что отказ основной произошел в момент времени τ.

Для определения второго слагаемого формулы (3.12) промежуток времени t разобьем на ряд промежутков длиной Δτ _t (рис. 3.10):

.

Основная система

Резервная система

Время работы основной системы

Время работы основной системы

Время работы резервной системы

Гипотеза 1

Гипотеза 2

t

t ₁

t ₂

Рис. 3.9. Схема определения вероятности безотказной работы

при однократном резервировании замещением

Отказ основной системы возможен на любом из промежутков Δ τ_t причем при малых Δ τ_t вероятность отказа пропорциональна длине интервала:

где Q ₀(Δτ _i) – вероятность отказа основной системы в промежутке времени Δτ _t; f (t_i) – частота отказов внутри промежутка Δτ _{t .}

Тогда на основании теоремыумножения вероятностей, вероятность безотказной работы резервной системы в течение времени t_i – t_{i +1} при условии, что основная система отказала в промежутке времени t_i определяется по формуле:

где Р_р (t, t_i) – вероятность безотказной работы резервнойсистемы за время t – t_i при условии, что она была исправна до момента t_i.

Отказ основной системы возможен в любом из промежутков времени Δτ₁, Δ τ₂, …Δ τ_n. Поэтому на основе формулы полной вероятности, вероятность безотказной работы резервной системы можно представить в виде:

.

В пределе при получим

Следовательно, при наличии одной рабочей и одной резервной систем ве­роятность безотказной работы опреде­ляется выражением

Полученный результат можно использовать для нахождения общего выражения, описывающего вероятность безотказной работы прилюбой кратности резервирования. С этой целью систему с кратностью резервирования m можно представить в виде системы с кратностью т – 1, которая дополнительно резервируется одной m – 1 резервной системой (рис. 3.10). Тогда,считаярабочую и m – 1 резервных системосновной, а систему т резервной, по аналогии с вышеприведенным выражениемимеем

, (3.13)

где P_m (t), f_m (τ) – соответственно вероятность безотказной работы и частота отказов системы, резервированной методом замещения с кратностью т– 1.

Учитывая, что P (t, τ) = 1 – Q (t, τ), выражение (3.13) можно представить в виде:

.

Так как

,

есть вероятность отказа системы с кратностью резервирования m – 1, то искомоевыражение для вероятностибезотказной работы при общем резервировании методом замещенияравно:

(3.14)

Соответственно вероятность отказа равна:

(3.15)

Основная система

Резервная система 1

Резервная система 2

Резервная система m -1

Резервная система m

Рис. 3.10. Схема к определениювероятности безотказной работы

системы, резервированной методомзамещения

При резервировании методом замещения используют нагруженный, облегченный и ненагруженный режимы работы резервных систем.

Полученные выше выражения (3.14) и (3.15) позволяют определить характеристики надежности для различных режимов работы резервных систем. Например, в случае нагруженного резерва вероятность отказа любой из резервных систем не зависит от момента τ отказа рабочей системы, т. е. Q (t, τ) = Q (t). Вэтом случае выражение (3.15) принимаетвид:

.

Последовательно вычисляя Q_m (t), Q_{m – 1}(t) и т. д., получим

.

Сравнивая данное выражение с выражением (3.1), приходим к выводу, что в случае нагруженного резерва надежность системы, резервированной методом замещения, равна надежности системы с постоянно включенным резервом.

Произведя соответствующие вычисления, можно получить также выражения для характеристик надежности, резервированных методом замещения систем при облегченном и нагруженном резерве. В случае ненагруженного резерва, когда отказ резервной системы возможен только после отказа рабочей системы, выражения (3.14), (3.15) могут быть преобразованы следующим образом:

;

.

Выражения для характеристик надежности системы резервированных методом замещения при общем способе резервирования справедливы при упомянутых выше допущениях. Поскольку в этих допущениях не делалось никаких ограничений относительно характера потока отказов, эти выражения пригодны при любом характере потока отказов элементов резервированной системы. Большой практический интерес представляет определение параметров надежности резервированной системы при экспоненциальном законе надежности.

Получим эти выражения для случая ненагруженного резерва. Поскольку при ненагруженном резерве ресурс надежности резервных систем начинает расходоваться с момента отказа рабочей системы, частота отказов основной и всех резервных систем описываются выражениями:

при

при при

при при

где λ₀ – интенсивность отказов любой системы, находящейся в рабочем состоянии; τ_i – время отказа i -й системы.

Для определения параметров надежности последовательно найдем вероятность безотказной работы при различных кратностях резервирования. Подставляя выражение (3.3) в формулу (3.12), получим:

при m =1

при т = 2

при т = 3

Следовательно, при любой кратности резервирования вероятность безотказной работы имеет следующий вид:

(3.16)

или

Графики зависимостей Р_c (t) при различных кратностях резервирования приведены на рис. 3.11.

Среднее время безотказной работы определим на основе из­вестного выражения

Для резервированной системы имеем

где – эйлеров интеграл второго рода.

Известно, что эйлеров интеграл второго рода определяется через гамма-функцию при помощи равенства:

поэтому выражение для среднего времени безотказной работы можно представить как

Учитывая известные соотношения для гамма-функции

Г(х + 1) = х Г(х) и Г(х) = (х – 1)!,

Приходим к окончательному выражению для среднего времени безотказной работы системы при общем резервировании методом замещения:

(3.17)

Таким образом, формулы (3.16) и (3.17) показывают, что резервирование методом замещения является эффективным способом увеличения надежности авиационного оборудования. Даже при наличии одной резервнойсистемы вероятность безотказной работы при λ ₀t = 2 увеличиваетсяот 0,18 до 0,40 (рис. 3.11). Увеличение среднего времени безотказной работы резервированной системы пропорционально кратности резервирования.

Рис. 3.11. Зависимость вероятности безотказной работы

резервированной системыот времени при различной кратности:

––– – резервирование замещением; ---- – резервирование постоянное

На основе полученных выражений могут быть выведены формулы для остальных параметров надежности.

Например, выражения для частоты и интенсивности отказов и коэффициента готовности имеют вид:

.

Графики, показывающие изменение указанных параметроввовремени, приведены на рис. 3.12.

Рис. 3.12. Зависимости частоты и интенсивности отказов

резервированной системы от времени

Дата добавления: 2014-01-07