Наслідки з теореми Крамера чи з її доведення

Теорема про несумісну систему. Якщо в квадратній системі головний визначник дорівнює нулю, а хоча б один з допоміжних визначників Δ_і не дорівнює нулю, то система несумісна.

Доведення. Аналогічно як в доведенні теореми Крамера, отримаємо рівняння

x_іΔ=Δі, яке очевидно не має розв’язків.

Пр. 3х-4y+5z=-2 Квадратна система лінійних алгебраїчних рівнянь (3х3).

2x+3y-z=1 Можна дослідити з допомогою визначників.

x-7y+6z=1

-2 -3

=(однакові рядки).

Не можна використати метод Крамера.

2 -1

==

=1(-1)-- система не має розв’язків.

Відповідь. Ø.

Теорема (про обведений мінор чи про залежне рівняння). Якщо і деякий допоміжний визначник , але деякий мінор головного визначника не дорівнює нулю , то і -те рівняння буде залежним від інших і його можна не враховувати.

Доведення. Домножимо і- те рівняння на алгебраїчне доповнення А_ij (А_ij ¹0) і додамо до нього інші рівняння системи, домножені на відповідні алгебраїчні доповнення до j- го стовпчика у D:

Отримаємо еквівалентну систему. На місці і-го рівняння буде рівняння , тобто , а таке рівняння можна відкинути.

Після відкидання отримуємо нову систему, в якій рівнянь менше ніж невідомих.

Теорема (рівнянь менше ніж невідомих). Якщо рівнянь є k, а невідомих є n, k<n та існує визначник D, побудований із k стовпчиків коефіцієнтів біля невідомих не рівний нулю (D¹0) то система має безліч розв’язків.

Доведення. Доведемо на прикладі системи з двома рівняннями:

Нехай визначник, побудований із деяких двох стовпчиків коефіцієнтів при невідомих, не дорівнює нулю.

Доведемо, що тоді система має безліч розв’язків.

Залишимо ці стовпчики зліва, а інші доданки перенесемо в правий бік.

Вважатимемо невідомі перенесені вправо – параметрами.

Невідомих залишилось 2. Тоді система буде квадратною, її головний визначник буде не рівним нулю, тобто при будь-яких значеннях параметрів буде один розв’язок (отже, їх буде безліч). Очевидно, що доведення годиться для будь-якої кількості рівнянь.

Приклад.

, бо є пропорційні рядки.

; ; , бо є однакові стовпчики. Висновок: розв’язків безліч, або немає.

– отже, третє рівняння залежне і його можна не враховувати (уважно роздивившись побачимо, що 3р.=2р. - 1р.).

. Ми знаємо, що визначник, складений із перших двох стовпчиків при невідомих не дорівнює нулю. Перенесемо доданки третього стовпчика вправо і вважатимемо z параметром.

- будь-які значення. (розв’язків безліч)

, , =7z

Відповідь. .

Теорема. При якщо є один розв’язок, то їх буде безліч.

. Позначимо його стовпчики р₁=, р₂=,…

Стовпчики головного визначника р₁,р₂ … p_n – лінійно залежні, тобто є такі не всі рівні нулю числа , що

Нехай набір чисел - є розв’язком, тобто:

.

Тоді набір чисел () очевидно теж буде розв’язком (новий розв’язок).

Дата добавления: 2014-01-06