Математическое моделирование систем

Васильев В.В. Лекции по курсу «Компьютерное моделирование».

Моделирование - гносеологическое понятие, определяющее один из основных путей познания мира. Обобщённо моделирование можно определить как метод опосредованного познания, в процессе реализации которого изучаемый объект-оригинал представляется (замещается) другим объектом (моделью) находящимся в некотором соответствии с ним, с целью получения информации о важнейших свойствах этого объекта-оригинала на некоторых стадиях познавательного процесса путем экспериментирования с моделью.

Процесс моделирования предполагает наличие:

объекта исследования, под которым будем понимать объект, явление или процесс, а в общем случае систему;

исследователя;

конкретной задачи, поставленной перед исследователем;

и модели, т.е. квазиобъекта, создаваемого исследователем, способного в том или ином смысле заменить оригинал при исследованиях. При этом исследователь имеет неограниченные возможности экспериментирования на множестве различных моделей с последующей интерпретацией результатов с обретением наиболее общего объёмного представления об объекте исследования, управлении и прогнозировании его поведения или состояния.

Модель это условный образ объекта, дающий намеренно упрощённое представление какой-то стороны этого объекта, позволяющее решить конкретно поставленную задачу. Любая модель отражает только некоторые свойства реального объекта, определяемые целью его исследования. При этом в процессе построения модели необходимо правильно определить наиболее важные (релевантные) факторы для решения данной задачи и определить их влияние. Модель может быть либо материальной (физической), либо идеальной (абстрактной, виртуальной) в зависимости от средств её представления.

Любая научная теория, описывающая те или иные явления, как правило, выражает взаимосвязь между своими понятиями и объектами на формальном языке математики, оперируя количественными соотношениями. Это позволяет говорить об описаниях изучаемых явлений в рамках этой теории, как о математических моделях, т.е. об идеализации объектов исследования, основанном на некотором упрощении явлений; т.е. о приближённых описаниях. Благодаря замене реального объекта его математической моделью появляется возможность переопределить (переформулировать) задачу его исследования как математическую и использовать мощный математический аппарат, в том числе с применением ЭВМ, позволяющий независимо от природы явления описывать и анализировать его количественно и качественно, а также проводить управление и прогнозирование его поведения.

Математической моделью (ММ) реальной или идеальной системы называется совокупность математических объектов (чисел, переменных, матриц, множеств и т.п.) и отношений между ними, адекватно отражающая некоторые необходимые и существенные с позиции исследователя (наблюдателя) свойства этой системы. Таким образом ММ - это математическая система - математическая структура в смысле Н. Бурбаки [1], выступающая в роли относительно самостоятельного квазиобъекта для исследования математическими методами, позволяющая получить характеристики реальной или реализуемой исследуемой (проектируемой) системы. Объекты ММ трактуются как идеализированные элементы реальной системы, а абстрактные отношения между объектами ММ как конкретные связи между элементами реальной системы. Перенос свойств (характеристик) полученных в результате исследования модели на систему-оригинал с логической точки зрения основан на отношениях изоморфизма и гомоморфизма, существующих между моделью и исследуемой системой (изоморфный либо гомоморфный образ системы и есть её модель).

Вид ММ и уровень абстрагирования при ее построении зависят от задач исследования и природы исследуемой системы и в некоторой степени определяют выбор математической схемы [24, 26, 29]. Математическую схему можно определить как звено при переходе от содержательного к формальному описанию процесса функционирования системы с учетом воздействия внешней среды. При построении ММ необходимо решить вопрос об ее полноте или универсальности и упрощении. Полнота модели определяется связью "система S - среда Е", а упрощение модели определяется выделением основных свойств системы и отбрасыванием второстепенных и зависит от цели моделирования. Наряду с этими требованиями к ММ предъявляются еще и требования адекватности, точности и экономичности.

Таким образом математическое моделирование – это универсальный математический метод познания заключающийся в построении для изучаемой системы изоморфной математической модели, изучении её и переносе в силу изоморфизма результатов, полученных для модели, на исходную изучаемую систему.

Большинство объектов, явлений и процессов имеет природу системы. Понятие системы [2] является фундаментальным и используется для представления исследуемого или проектируемого объекта любой природы либо совокупности взаимодействующих объектов различной природы, обладающего выраженными свойствами целостности, многосвязности, эмержентности, целенаправленности, многоаспектности и динамичности (развития). Система представляет собой некоторое единство субстратно-субстациональных и структурных характеристик.[3, 4].

Независимость исследований от природы явления, процесса или объекта при математическом моделировании позволяет перейти к исследованию абстрактных, отвлеченных систем. Под системой здесь понимается абстрактное построение, в основе которого лежит множество взаимосвязанных элементов, находящихся в определённых отношениях со средой [4].

Теория систем и кибернетика по возможности отвлекается от субстрата рассматриваемых систем и изучает лишь наиболее общие их свойства и особенности, т.е. структуру и функции систем [5 - 8].

В связи с развитием научно-технического прогресса, появилось понятие "большая или сложная система" (СС), однако отнесение реальных систем к классу сложных четко не определяется и связано в основном со степенью существенности общесистемных свойств при изучении той или иной системы. Отличительными особенностями больших систем обусловливающими их сложность является:

а) наличие большого числа компонентов (элементов), а следовательно большого числа независимых состояний, практически неподдающееся перебору и простому аналитическому описанию;

б) наличие большого числа разнообразных связей между компонентами системы, как детерминированных, так и стохастических, не позволяющее исследовать систему покомпонентно;

в) наличие во многих случаях прямой или косвенной связи с биологическими системами, человеком и социальными системами.

Строгое математическое определение понятия "система" постоянно изменялось по мере развития теории систем, начиная с возникновения её в 30-е годы CC века в работах Месаровича [9] и по сей день. Анализ сущности понятия система и эволюция его определения рассматриваются, например в [10 - 17]. На основе такого анализа можно показать, что систему на различных этапах представления, в различных ситуациях и при рассмотрении различных её аспектов, можно по-разному, т.е. разными средствами определять. И в ходе исследования системы по мере уточнения представления о ней её определение может и должно изменяться, сужаться или расширяться в зависимости от процесса исследования (проектирования), что позволяет говорить о различных формах существования определения системы.

Сложной (большой) системой (СС) назовём объект, характеризующийся следующими принципами его устройства:

1.Целостность. СС представляет собой целостное образование большого числа различных и разнородных компонентов (подсистем) обладающее выраженными общесистемными свойствами (функциями), которых нет у его компонентов при любом способе её декомпозиции (членении). При этом свойства целого зависят от свойств составляющих его компонентов, положения и связи их между собой и со средой, но не являются простой суммой этих свойств. Целостность определяется всеми взаимосвязями внутри системы и системы со средой или надсистемой. Этот принцип тесно связан с целью, для выполнения которой создаётся система.

2.Целенаправленность - «стремление» к достижению цели. СС создаётся для выполнения определённой цели при взаимодействии со средой. Система способна в некоторых пределах управлять своим поведением при случайном и неблагоприятном воздействии среды, стремясь к выполнению своих системных функций - негентропийность. Негентропия – мера вероятности пребывания в данном состоянии. Т.е. система имеет функциональную тенденцию к достижению некоторого состояния, сохранения или развития некоторого процесса. Сложная система обладает способностью выбора поведения в некоторой области, т.е. реагирования на внешние воздействия в зависимости от внутреннего состояния и целенаправленности. Поведение СС существенно хотя и неоднозначно зависит от ситуации, следовательно, на него можно влиять при чём в некоторых условиях неоднозначность может отсутствовать.

3.Физичность. Существование, функционирование любой СС определяется физическими законами (закономерностями), выражающими причинно-следственные связи между компонентами, процессами и свойствами. Сложная система имеет автономную пространственно-временную группу преобразований с соответствующим набором инвариантов, отождествляемую с определённым классом физических явлений; и внутрисистемные законы сохранения, определяемые физическим устройством системы и независящие от среды. Т.е. сложная система определяется в автономном функциональном пространстве, в котором её функционирование описывается более просто.

4.Моделируемость. Сложная система может быть представлена конечным множеством моделей отражающих её различные сущностные аспекты. Аспекты описаний системы тесно связаны между собой, однако при решении конкретной задачи обычно выбирается один из них. Этот принцип позволяет исследовать определённую группу свойств системы (аспект) с помощью одной или нескольких ориентированных на эту группу моделей. Доказательство существования и стабильности таких моделей опирается на постулат дополнительности и постулат неопределённости, которые являются развитием и распространением на сложные системы соответствующих физических принципов. Согласно постулату дополнительности, сложная система, находясь в различных ситуациях, может проявлять различные свойства не совместимые ни в одной из них. [11,12]. Необходимость постулата обусловлена ограниченностью средств познания. Постулат неопределённости определяет существование для системы области неопределённости, внутри которой повышение точности определения одного свойства влечёт за собой снижение точности определения других. В пределах этой области свойства могут быть описаны только вероятностными характеристиками. Изменение поведения или состояния системы происходит вследствие прироста воздействия превышающего некоторое пороговое значение. Которое зависит от изменения трёх переменных: количества вещества, количества энергии, количества информации, определяющих воздействие.

5.Иерархическая упорядоченность. Система может быть представлена в виде иерархической структуры как сложное единство со средой, во взаимодействии с которой она проявляет свою целостность. Структурой назовём совокупность компонентов (элементов, подсистем) системы и устойчивых связей между ними обеспечивающих сохранение его основных свойств при различных внутренних и внешних изменениях. Структура является основной и инвариантной характеристикой системы. Система может быть представлена различными структурами в зависимости, как от развития самого объекта, так и развития исследования, а также от цели и аспекта исследования (проектирования). Разделение описания системы на части, и последующее их раздельное исследование называется декомпозицией. В силу закономерностей целостности и многоаспектности одна и та же система может быть разделена различными способами, в зависимости от целей исследования и от личности исследователя. Т.о. система с одной стороны представляет собой компонент надсистемы (системы более высокого уровня, задающей условия связи системы со средой), с другой стороны сама является надсистемой для систем более низкого уровня, которые являются её подсистемами. Структурные связи отражают как строение, организованность системы, так и её функционирование. Связь можно определить как ограничение степени свободы компонентов. При наличии связи между компонентами они теряют часть своих свойств, которыми они обладали в свободном состоянии. Многоуровневая иерархическая структура, представляющая систему, получается в результате многошаговой декомпозиции её описания. На верху иерархии находится среда – сложная и неоднородная совокупность объектов, содержащая надсистему. Важным и начальным этапом определения СС является выделение системы из среды исследователем, в соответствии с целями исследования, на основе предварительного представления; причём это может проводиться по разному; и в процессе исследования граница системы со средой может изменяться. Часто эта граница определяется через входы и выходы, с помощью которых система взаимодействует со средой [4,13,14,15,].

Внизу иерархии находятся элементы – компоненты системы, дальнейшее членение которых не целесообразно с точки зрения аспекта рассмотрения задачи. Внутри иерархии – подсистемы различных уровней, то есть относительно независимые части системы, обладающие свойствами систем.

Структурные представления могут служить средством исследования (проектирования) систем. Структурность, многоуровневость, иерархичность – свойства не только морфологии системы, но и её функционирования.

Описанные принципы позволяют дать общее математическое определение СС.

Математически система, а в более точном понимании модель системы, определяется как отношение на непустом множестве

где: знак декартова произведения,

I={i} множество символов,

V_i – множество, определяющее формальный объект системы отражающий свойства реального объекта.

Таким образом абстрактная система определяется заданием множества V и некоторого множества отношений Р = {P₁, P₂, …,P_n}, именно оно позволяет выделить подмножество S. Наделив множества V_i определённой структурой и задав отношения P_j (т. е. обогатив структуру системы) и введя ограничения на разнообразия условий можно выделить определённый класс систем.

В данной работе целесообразно ограничиться рассмотрением класса сложных технических систем (CTC) и его моделирования в аспектах автоматизации исследований и проектирования космической техники. Класс характеризуется общими и существенными свойствами, определяемыми структурой и свойствами множеств и отношений системы. Наиболее общим математическим описанием таких систем будет абстрактная динамическая система, которую определим аксиоматически набором объектов-множеств и отношений, полным в смысле возможности проведения анализа свойств системы.

Динамическая система S есть восьмёрка:

S=(T, X, X^*, Y, Y^*, H, φ, β)

т. е. для неё определены:

1. Упорядоченное множество (топологическое пространство) T= R (множество действительных чисел) или T= Z (множество целых чисел), часто это множество моментов времени , в которых определено поведение системы.

2. Пространство состояний H - некоторое топологическое векторное пространство

H = (: i =1,2,…K≤I) = {h=(h₁,h₂,…,h_k)}

-совокупность n -мерных векторов всех внутренних состояний системы [6,16].

3. Множество всех входных значений воздействий (возмущений) среды на систему

X = (: i = 1,2,…,L≤I) = {x=(x₁,x₂,…x_l)}

и множество всех выходных значений воздействий системы на среду

Y = (: i = 1,2,…,M≤I) ={y=(y₁,y₂,…,y_m)}

- некоторые топологические векторные пространства.

4. Некоторые топологические пространства определённых на T функций времени: множество допустимых входных воздействий на систему - X^* и множество допустимых выходных воздействий системы на среду - Y^*,

X^* = { T → X } = {ω: t → ω(t)X},

Y^* = { T → Y } = {γ: t → γ(t)Y}.

5. Для произвольного начального момента t₀ из T, произвольного начального состояния h₀ из H и произвольного входного воздействия x из X, определенного для t ≥ t₀ все будущие состояния системы определяются видом непрерывной функции перехода:

φ: X^* × T × T × H → H = (t₀, t, h₀, ω(t_o, t)) → h(t) для t ≥ t₀ .

6. Отображение

β: T × H → Y^* = (t, h(t)) →γ [t,)

определяет функцию выхода (процесс выходных воздействий системы на среду).

Задавая вид множеств, отношений, и отображений производится характеризация или представление системы. Для ряда классов систем эта задача, являющаяся этапом построения модели системы решена. Это позволяет решать различные задачи в определённом классе систем на единых методологических принципах. А задачу описания любой конкретный системы в данном классе свести к определению значений параметров известных моделей.

При исследовании сложных систем и построении ММ можно выделить следующие основные подходы.

Информационный (представление системы как устройства преобразования информации), структурно-логический подход, эвристическо-эмпирический подход [17,18,19], подход основанный на методах машинного испытания, подход с использованием сетевых методов [22], объектно-ориентированный подход к проектированию [20,21], подход основанный на создании концептуальной модели С. П. Никанорова [23].

Для преодоления трудностей связанных со сложностью и многомерностью в описании сложных систем Н. П. Бусленко был предложен наиболее общий подход к формальному описанию систем, базирующийся на понятии агрегативной системы (А-схемы) [24,25].

Динамические системы, рассматриваемые в данной работе, описываются ММ, которые получаются из общего определения путём его упрощения, уточнения и конкретизации компонентов этого определения. Они различаются по следующим свойствам: а) по виду множеств T, X, Y, X^*, Y^*, H – непрерывные и дискретные; б) по типу отображений φ, β, - детерминированные и стохастические. Среди свойств объекта, отражаемых в описаниях, в том числе в ММ, различают свойства элементов и свойства внешней среды. Количественное выражение этих свойств осуществляется с помощью величин, которые называются параметрами. Величины, характеризующие свойства системы, элементов системы и внешней среды, называют соответственно выходными, внутренними и внешними параметрами. Например, для функциональных систем ММ будет иметь вид:

у = F (x, w), где y = (y₁,y₂,...,y_m) - вектор выходных параметров;

x = (x₁,x₂,...,x_n) - вектор внешних параметров;

w = (w₁,w₂,...,w_i) - вектор внутренних параметров.

В описаниях проектируемых объектов, в частности, в ТЗ, формулируют технические требования к выходным параметрам. Техническое требование представляет собой множество векторов G = (G₁,G₂,...,G_r) границ допустимых диапазонов изменения выходных параметров у_j. Соотношения между у_j и G_j называют условиями работоспособности и имеют вид:

G_j < у_j < G′_j, где (r = m) - размерности векторов G и у.

С помощью понятия параметров реальной системы и параметров, вычисленных по ее ММ, можно оценить точность этой ММ. Пусть вектор выходных параметров системы S (истинной) у = (у₁,у₂,...у_m), а вектор

у′ = (у′₁,у′₂,...у′_m) - вектор выходных параметров рассчитанных по ее ММ. Тогда векторная оценка точности

e = (e₁,e₂,...,e_m)

определяется относительной погрешностью параметров

e_j = (у_j′ - у_j) / у_j.

Скалярная оценка будет равна норме //ε// вектора ε и будет зависеть от выбора нормы, например:

//e_c //= max e_j, где j = 1,2,…m; или //e_L// = ε_j².

Если результаты моделирования достаточно хорошо совпадают с результатами исследования реального объекта (с натурным экспериментом) и могут служить основой для прогнозирования поведения объекта, то говорят, что ММ адекватна объекту. Адекватность ММ - это способность отражать заданные свойства объекта с погрешностью не выше заданной. Т.к. выходные параметры являются функциями внешних x и внутренних w параметров, погрешность e_j зависит от их значений. Как правило, значения внутренних параметров w ММ определяют из условия минимизации погрешности e в некоторой точке x_ном пространства внешних параметров, а используют модель с рассчитанным вектором w при различных значениях x. При этом адекватность ММ имеет место лишь в ограниченной области изменения внешних параметров - области адекватности ММ:

W = {x: //e//≤ d},

где d > 0 - заданная константа, равная предельно допустимой погрешности модели. Естественно адекватность модели зависит от цели моделирования и принятых критериев. Адекватность ММ часто устанавливается проверкой для неё основных законов предметной области и сравнением результатов моделирования частных случаев с известными для этих случаев решениями.

К ММ предъявляют также следующие основные требования: универсальность, экономичность, непротиворечивость, реализуемость, согласованность, полная консервативность и др.

Универсальность ММ - это требование, которое характеризует полноту отображения в модели свойств истинного объекта. ММ не может отображать все свойства реального объекта - этого и не требуется, ведь влияние различных факторов на результат неоднозначно и неравноценно - она должна описывать лишь те отображения, которые необходимы исследователю в соответствии с его целями моделирования.

Экономичность ММ характеризуется затратами машинного времени и памяти на ее реализацию. Часто используют другие величины, независящие от особенностей применяемой ЭВМ, например, среднее количество операций, выполняемых при одном обращении к модели, размерность системы уравнений, количество используемых параметров и т.п.

Далее необходимо отметить такие требования как непротиворечивость ММ и её разрешимость, т.е. она должна обладать единственным решением; и должна позволять получение этого решения за обозримое время, определяемое целью и средствами моделирования, т.е. должна обладать свойствами реализуемости. Кроме этого должна быть эффективной, т.е. позволять реализацию ее за минимальное время и с минимальными затратами вычислительных ресурсов (машинного времени и памяти). Это очень важно в системах регулирования или обработки информации работающих в реальном масштабе времени. Здесь вступают в противоречия такие требования как полнота, точность и реализуемость.

Можно определить еще чувствительность ММ к вариациям различных параметров.

Наряду с рассмотренными критериями, предъявляемыми к ММ, которые называют внешними, необходимо рассмотреть еще критерии внутренние, определяющие структуру ММ. Среди них можно выделить самосогласованность и критерий полной консервативности.

Самосогласованность является требованием представления ММ в виде “черного ящика”, на входе которого задаются параметры, реально управляемые, а внутренние параметры определяются самой моделью, что позволяет в частности ставить и решать обратную задачу оптимизации. Критерий полной консервативности, введенный А.А. Самарским и Поповым, связан с методами вычислительной математики и с реализацией их на ЭВМ. Он выражает требования, чтобы ММ имела аналоги законов сохранения энергии, импульса, заряда, массы, потоков массы, которые соответствуют законам сохранения для реального объекта. Для аналитических моделей это требование полноты и корректности записи физических законов в математической форме, а в дискретной (разностной постановке), кроме того, это требование общей устойчивости дискретной модели. Т. е. малые ошибки округления при длительном счете не должны давать большие ошибки решения [26 - 36].

Рассмотренные критерии качества ММ во многом противоречивы, и необходимо это учитывать. При разработке ММ характерно убеждение, что чем больше эффектов, параметров и аспектов учтено в модели, тем ближе она к реальному объекту. Это порождает сложные, громоздкие модели со многими параметрами, плохо и долго решаемые, с решениями, если они вообще получаются, которые трудно или вообще невозможно интерпретировать и сравнить с реальными данными эксперимента. Хотя это ничем не оправдано и зачастую сложные эффекты или явления хорошо описываются достаточно простыми моделями при правильной постановке задач и целей исследования.

Сложность ММ определяется, во-первых, сложностью самого исследуемого объекта и во-вторых, точностью модели. Но с другой стороны, сложность ММ не должна превышать некоторого предела, определяемого возможностями математического аппарата и технических средств, это можно отнести и к точности. Сложность ММ должна быть согласована с целью исследования и с точностью экспериментальных данных, которыми мы располагаем.

Оптимальное удовлетворение этих противоречивых требований к ММ зависит от уровня и аспекта проектирования и от особенностей решаемых задач. Это обуславливает широкое многообразие ММ в САПР.

Из рассмотренного можно сделать следует вывод, что ММ это не только уравнения или другие математические соотношения, описывающие математическую задачу, но и некие дополнительные условия, оговаривающие области использования этих соотношений [26,35].

ММ отражающие процессы, протекающие в объекте при его функционировании, называют функциональными, отражающие структуру объекта - структурными, а ММ, отражающие топологические свойства – топологическими [36].

Классификация ММ в САПР может проводиться также по иерархическим уровням структурированного описания объекта проектирования [37, 38, 39]. В описании объекта можно выделить несколько иерархических уровней, но обычно описывают три наиболее общих: микро-, макро- и мета- уровни. На каждом из этих уровней используются свои формы описаний и типы представления моделей, свой математический аппарат.

На микроуровне (уровень элементов) обычно описываются процессы в сплошных средах в непрерывном времени на участках объёма элемента системы (объекта). Типичными фазовыми переменными здесь являются концентрации частиц, плотности потоков, напряжённости полей и т.д., являющиеся функциями пространственных координат и времени. ММ этого уровня описываются интегральными уравнениями и дифференциальными уравнениями в частных производных. Наиболее общими функциональными моделями на микроуровне являются краевые задачи для систем дифференциальных уравнений с частными производными.

На макроуровне (схемный уровень) как правило, описываются процессы в дискретизированном пространстве компонентов в непрерывном времени. Элементами этого уровня являются компоненты, которые на микроуровне описывались как системы. Внутренние параметры их на микроуровне были внешними. В качестве фазовых переменных в ММ на этом уровне выступают переменные двух типов: типа потока (токи, потоки, силы) и типа потенциала (напряжения, температуры), зависящие от времени. Типичной обобщённой моделью на макроуровне является задача Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Эта система представляет собой совокупность двух типов уравнений - компонентных и топологических. Компонентные (типа вольтамперных характеристик (ВАХ)) описывают функционирование элементов и связывают два типа фазовых переменных, а топологические (типа уравнений Кирхгофа)– отражают структуру системы и связывают однотипные фазовые переменные.

На метауровне (общесистемный уровень, функционально-логический уровень) как правило, описываются процессы информационного взаимодействия между подсистемами и между системой и средой и др. с использованием функционального моделирования и укрупнённого представления элементов и фазовой переменной одного типа – сигнала. Метауровень характеризуется большим разнообразием типов используемых ММ. На этом уровне используются модели на основе аппарата передаточных функций или математической логики и теории автоматов, а также модели теории массового обслуживания и другие стохастические модели.

Для построения ММ на всех уровнях используются следующие методы:

1. Метод, основанный на применении фундаментальных законов природы (сохранения энергии, материи, импульса и т.д.) к конкретной задаче.

2. Метод, основанный на применении вариационных принципов, утверждающих, что из возможных вариантов функционирования системы выбираются те, которые удовлетворяют определённым условиям. Обычно это условия достижения экстремума некоторой характеристики объекта при переходе системы из одного состояния в другое.

3. Метод, основанный на применении аналогий с уже изученными явлениями.

4. Метод, при котором строится иерархическая цепочка постепенно усложняющихся (более полных) моделей, каждая из которых обобщает предыдущие и включает их в качестве частного случая.

В общем случае процедура поcтроения ММ включает в себя следующие этапы:

1. Определение основных свойств объекта, которые должна отражать модель. Это определение базируется на анализе возможного использования модели и определяет степень её универсальности.

2. Получение исходной информации о необходимых основных свойствах объекта на основе экспериментальных исследований и измерений параметров, на знании и опыте инженера и описания прототипов и т. п.

3. Синтез структуры ММ. То есть определение общего вида математических соотношений модели без конкретизации числовых значений фигурирующих в них параметров на основе выбора существующего класса и типа модели. Структура модели может быть представлена также в иной форме, например в виде эквивалентной схемы, алгоритма или графа.

4. Расчет значений параметров ММ. Эта задача ставится как задача минимизации погрешности моделизаданной структуры, т. е.

где: z - вектор параметров модели; D - область варьирования параметров;

ε=(ε₁, ε₂, … ε_J, … ε_k) – векторная оценка погрешности параметров, для которой ε_j=(z_j–z_jt)/z_jt – относительная погрешность расчёта j -того параметра z, z_j – значение рассчитанного параметра, а z_jt – истинное значение этого параметра найденного по результатам экспериментов либо физических, либо численных с использованием более точных ММ, если таковые имеются в иерархическом ряду ММ.

5. Оценка точности и адекватности ММ. Для оценки точности должны использоваться значения z_jt, которые не использовались при решении задачи минимизации погрешности модели. Большую ценность для пользователя представляют сведения об области адекватности. Однако определение её требует больших затрат машинного времени. Поэтому такой расчет выполняется только при тщательной отработке ММ унифицированных элементов, предназначенных для многократного применения.

При построении ММ этапы 2-5 могут выполняться многократно в итерационном процессе получения удовлетворительного результата [34-40].

Дата добавления: 2014-01-07