Эллипс. Вывод канонического уравнения. Основные характеристики

Def.	Эллипсом называют геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух фиксированных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (бόльшая, чем расстояние между фокусами).

Пусть 2 с – расстояние между фокусами;

2 а – постоянная величина (2 a > 2 c);

r₁ – первое расстояние (левый фокальный радиус);

r₂ – второе расстояние (правый фокальный радиус).

Очевидно, что c>0, a>0, r₁>0, r₂>0.

Тогда уравнение эллипса (по определению):

, причем .

Получим уравнение эллипса в д.п.с.к. X0Y.

Расположим ось 0Х так, чтобы фокусы F₁ и F₂ принадлежали ей, ось и начало координат 0 – являлось серединой отрезка [ F₁;F₂ ].

Тогда координаты фокусов – F₁(-c;0), F₂(c;0).

Пусть т. M(x;y) –«текущая» точка эллипса.

По теореме Пифагора из прямоугольного Δ F₁ MN:

.

Из прямоугольного Δ F₂ MN:

.

Учитывая, что , получим

или

,

,

,

,

,

,

,

,

.

Обозначим , т.к. a > c, тогда

.

Или – каноническое (простейшее) уравнение эллипса.

Дата добавления: 2014-01-06