Теоремы о непрерывных функциях на отрезке

Разрывы. Классификация разрывов

Def.1.

Функция y=f(x) называется разрывной в т. x0, если она не является непрерывной в этой точке.

Пусть левосторонний предел функции в т. x₀,

правосторонний предел функции в т. x₀.

Def.2.

Функция y=f(x) имеет в т. x0 разрыв 1-го рода, если , или , или , причем, разность k2-k1=w – называют скачком функции в т. x0, если k1=k2, то разрыв называют устранимым.

Def.3.

Функция y=f(x) имеет в т. x0 разрыв 2-го рода, если , или , или

Ex.1. Исследовать функцию на непрерывность

Т.к. все элементарные функции непрерывны в своей области определения, то остается исследовать в т. x=-1 и в т. x=0.

Построим схематически график этой функции.

1. Пусть x= -1.

Тогда

Т.к. , то в т. x = -1 разрыв 1-го рода. Причем, скачок функции w=k₂ – k₁ =3-1=2 => w =2.

2. Пусть x= 0.

Тогда

Т.к. , то в т. x = 0 разрыв 2-го рода.

Т.1.	(Первая теорема Больцано-Коши[10]). Пусть функция y=f(x) определена и непрерывна на отрезке [a;b]. Пусть Тогда т.

Т.о., если , то найдется такая точка , в которой график функции y=f(x) пересекает ось 0X.

Т.2.	(Вторая теорема Больцано-Коши). Пусть функция y=f(x) определена и непрерывна на отрезке [a;b]. Пусть Пусть (например, A<B). Тогда т. .

Т.о., функция y=f(x) заполняет все значения от А до B сплошь.

Т.3.	(Первая теорема Вейерштрасса[11]). Пусть функция y=f(x) определена и непрерывна на отрезке [a;b], тогда она ограничена на нем, т.е. на [a;b].

Т.4.	(Вторая теорема Вейерштрасса). Пусть функция y=f(x) определена и непрерывна на отрезке [a;b]. Тогда она достигает на этом отрезке точной верхней М и нижней m грани, т.е.. : , .

Т.5.	(Теорема Кантора[12]). Если функция непрерывна на отрезке, то она равномерно непрерывна на нем.

ГЛАВА 6. Дифференциальное исчисление функции одной переменной

Дата добавления: 2014-01-06