Точечные и интервальные оценки действительного значения измеряемой величины

Оценка действительного значения производится по данным выборки-ряда значений, принимаемых случайной величиной в процессе n независимых измерений. Основными параметрами функции распределения случайной величины X является математическое ожидание М [Х] = m_х и дисперсия D[Х] = σ_x². Точечными оценками этих параметров (m_х* и σ_x *, соответственно) называются оценки, выражаемые одним числом.

Однако в задачах, где требуется оценить достоверность результатов измерений, знание точечных оценок оказывается недостаточным. С целью увеличения достоверности получаемых результатов пользуются доверительными интервалами и доверительными вероятностями.

Пусть при обработке результатов измерений получена оценка m_х*, удовлетворяющая требованиям состоятельности, несмещенности и эффективности, и которая используется в качестве действительного значения измеряемой величины Х_д. Для оценки возможной при такой замене погрешности назначим некоторую вероятность α с тем, чтобы произведенную замену средним арифметическим значением m_х^* действительного значения Х_д можно было бы рассматривать как достоверное событие (наиболее часто эта вероятность берется равной 0.9; 0.95; 0.99). Вероятность α называется доверительной вероятностью (α = 1 — q, где q - уровень значимости).

Найдем такое значение ε, для которого выполняется следующее равенство

P (| m_x^* - m_x | < ε) = α (31)

В этом случае пределы всех возможных погрешностей, возникающих за счет замены Х_д на m_х*, будут составлять ± ε (большие по абсолютной величине погрешности будут наблюдаться с вероятностью q = 1 - α). С учетом пределов ± ε перепишем (31) в виде:

P (m_x^*- ε < Х_д < m_x^*+ ε) = α (32)

Величина Х_д не случайная, но случаен интервал (m_x^*- ε, m_x^*+ ε), так как положение центра интервала в точке m_x^* является случайным. Таким образом, доверительная вероятность а есть вероятность того, что доверительный интервал со случайными границами «накроет» действительное значение измеряемой величины.

С учетом (32) можно получить формулу оценки доверительного интервала, в котором с заданной доверительной вероятностью α неизвестное действительное значение измеряемой величины совместимо с величиной m_х*

m_x^*- t_α < X_д< m_x^*+ t_α (33)

где σ_х* - статистически найденное значение оценки СКО, t_α - квантиль закона распределения, определяемая в виде соотношения:

Ф^-1()= t_α (34)

где Ф^-1 (•) - обратная функция Лапласа.

В частности, для нормального закона значения квантилей приведены в табл.5

Таблица 5

Доверительная вероятность	0.8	0.9	0.95	0.99	0.999
Значения tα	1.282	1.645	1.960	2.576	3.290

Рассмотрим пример. Пусть произведено 10 измерений емкости конденсатора с результатами, приведенными в табл.6.

Таблица б

Номер измерения
Емкость, мкФ	0.4	0.5	0.3	0.6	0.7	0.5	0.8	0.4	0.6	0.5

Полагая закон распределения полученных результатов нормальным, требуется получить интервальную оценку действительного значения емкости конденсатора с доверительной вероятностью α= 0.9.

Найдем среднее арифметическое значение по формуле (16):

m_x^*= = 0.530 мкФ

С учетом m_х* найдем статистическое СКО по формуле (22):

σ_x^*=

В соответствии с формулой (34) по специальным статистическим таблицам определяем для α=0.9 величину t_α = 1.645.

Подставляем эти данные в формулу (33) и получаем:

0.530 – 1.645

Таким образом, для рассматриваемого примера при доверительной вероятности α = 0.9, т.е. при уровне значимости q = 0.1 доверительный интервал будет

равен

0.453 < Х_д< 0.607 мкФ

Основные понятия, используемые в Законе РФ «Об обеспечении единства измерений»

Дата добавления: 2014-01-07