Выбор параметров П-регулятора по методу ЛЧХ

Формирование частотной характеристики разомкнутой системы

Лекция №29

Регуляторы, влияющие на величину коэффициента усиления разомкнутой системы, известны как пропорциональные или П-регуляторы. Такие регуляторы используются, чтобы обеспечить требуемое значение запаса устойчивости по фазе γ* в системе, которая в разомкнутом состоянии представляет собой последовательное соединение регулятор – объект управления. Заметим, что вид ЛФЧХ разомкнутой системы не может быть изменен с помощью такого регулятора.

Предположим, что основной показатель качества проектируемой системы – запас устойчивости по фазе γ*.

Пусть запас устойчивости нескорректированной системы γ₁<γ*.

Требуется за счет П-регулятора добиться желаемого запаса устойчивости γ*.

ПФ П-регулятора описывается как

W₂(p)=K_p = k₂,

где k₂ – КУ П-регулятора.

Как видим, П-регулятор является усилительным звеном. Отсюда ЛЧХ П-регулятора

L₂( )=20lg k₂, φ₂( )=0.

Следовательно, ЛЧХ разомкнутой скорректированной системы

,

где L₁( ) –ЛАЧХ нескорректированной системы,

φ₁( ) – ЛФЧХ нескорректированной системы.

Роль неизвестного параметра q играет k₂.

Надо найти k₂, исходя из γ*.

Построим ЛЧХ нескорректированной системы L₁ и φ=φ₁. Так как γ₁<γ*, то нескорректированная система не удовлетворяет требованиям, предъявляемым к ее колебательности.

Заданному запасу γ* соответствует иная частота среза _c*. Следовательно, k2 нужно выбрать таким образом, чтобы ЛАЧХ скорректированной системы пересекала ось частот при частоте _c*. При этом коэффициент усиления скорректированной системы

k= k₂ k₁ < k₁

будет меньше коэффициента усиления нескорректированной системы k₁.

Чтобы спроектировать П-регулятор:

а) постройте логарифмические частотные характеристики (ЛАЧХ и ЛФЧХ) разомкнутой нескорректированной системы, т.е. характеристики

L₁=20lg|W₁(j )|, φ₁( )=argW₁(j );

б) найдите по φ₁( ) частоту _c*, при которой имеет место требуемый запас устойчивости

γ=180^о+φ₁( _c*);

в) определите значение ЛАЧХ L₁( _c*)=20lg|W₁(j _c*)|, а затем и значение амплитудно-частотной характеристики |W₁(j _c*)|, соответствующие частоте _c*;

г) установите коэффициента усиления П-регулятора равным

k₂=1/|W₁(j _c*)|;

д) постройте ЛЧХ скорректированной системы с передаточной функцией k₂W₁(p) и оцените запас устойчивости по фазе. В случае необходимости сделайте небольшие изменения коэффициента усиления П-регулятора около значения k₂, чтобы обеспечить требуемый запас устойчивости по фазе.

Недостатки и достоинства:

1. _c*< _c – уменьшается полоса пропускания, т.е. увеличивается длительность переходного процесса. Но есть и преимущество: повышается помехоустойчивость.

2. Понижается точность работы системы за счет уменьшения коэффициента усиления. Понижается значение ЛАЧХ в области низких частот.

Два распространенных корректирующих устройства, которые могут быть использованы для формирования частотной характеристики в ограниченном диапазоне частот, есть КУ с опережением по фазе и запаздыванием по фазе.

Коррекция системы с помощью опережения по фазе (реальный ПД-регулятор)

а) КУ с опережением по фазе

Его ПФ:

.

Параметры КУ:

q₁=T, q₂=α, q₃=k₂, α < 1,

где 1/α – коэффициент опережения по фазе.

Построим ЛЧХ КУ (см. рис. ниже). Положим k₂=1. Найдем сопрягающие частоты:

₁=1/T, ₂=1/αT. Т. к. α < 1, то ₂> ₁.

Так как

,

то .

Выражение для ЛФЧХ

φ₂( )=arctg T- arctgα T.

Известно, что

.

Полагая x= T, y=α T, получаем

.

Дифференцируя φ₂( ) по , находим

(*)

и максимум

.

График зависимости изображен на рисунке:

Можно показать, что

.

Отсюда получаем аналитическое выражение

. (**)

Если α=0, то - ПД-регулятор.

Точные ЛЧХ КУ с опережением по фазе для k₂= α изображены на рисунке ниже.

Необходимо выбрать α и Т так, чтобы система удовлетворяла заданным требованиям. При этом обычно пытаются расположить частоту вблизи желаемой частоты среза таким образом, чтобы желаемая частота среза оказалась примерно посредине между частотами ₁ и ₂. Т.к. с уменьшением α увеличивается усиление на высоких частотах, что сопряжено с ослаблением помехоустойчивости (зашумленности управляющего воздействия), то приходится искать компромиссное решение между желанием добиться дополнительно большого значения фазового угла и неблагоприятной тенденцией получить большое усиление на высоких частотах (большое усиление шума измерения).

Так обычно пытаются взять , что означает

.

Если требуется больший положительный сдвиг по фазе, то используют несколько последовательно включенных КУ с опережением по фазе.

б) Выбор параметров α и Т корректирующего устройства с опережением по фазе.

Пусть заданы требуемые значения коэффициента усиления k* и запаса устойчивости по фазе γ*.

Изменим коэффициент k₁ нескорректированной системы так, чтобы коэффициент усиления скорректированной системы был равен требуемому значению k*, т.е., чтобы выполнялось условие: k=k*.

1. Построим ЛЧХ нескорректированной системы L₁( ) и φ₁ ( ) и определим запас устойчивости по фазе

γ₁=180⁰+φ₁( _c),

где _c – частота среза нескорректированной системы. Нескорректированная система при высоких значениях k₁ оказывается неустойчивой или весьма колебательной, т.е. γ₁ < γ* (см. рисунок ниже для ).

2. Определим разность между γ₁ и γ*

.

3. Выбираем параметр α из условия

,

используя для этой цели формулу (**) для или графическую зависимость .

4. Определяем частоту среза скорректированной системы _c*, исходя из .

5. Полагая *= _c*, находим параметр и сопрягающие частоты ₁=1/T, ₂=1/αT.

6. По формулам

строим ЛЧХ скорректированной системы и определяем, удовлетворяет ли система требованиям с точки зрения запаса устойчивости по фазе.

Действительно, если вычисления выполнены точно, то

,

и L( ) должна пересекать ось частот при = _c*, так что _c*= *.

Максимальный сдвиг по фазе должен быть при _c*. Если , то процесс синтеза заканчивается, если нет, то необходимо варьировать параметры.

Достоинства:

1. КУ с опережением по фазе не затрагивает низкочастотного участка ЛАЧХ, т.е. не влияет на заданную точность работы системы в установившемся режиме.

2. Добились желаемого запаса устойчивости по фазе γ*, повышает запасы устойчивости.

3. _c*> _c, следовательно, увеличивается полоса пропускания (ПП) и увеличивается быстродействие.

Недостатки:

1. Увеличение полосы пропускания влечет за собой снижение помехоустойчивости.

2. Увеличение быстродействия связано с увеличением управляющего воздействия u(t), что может повлечь за собой выход системы из строя или заставить работать систему в нелинейном режиме. Поскольку при синтезе все элементы предполагались линейными, то влияние нелинейностей в рамках линейной теории оценить невозможно.

Процесс проектирования слегка упрощается, если мы ставим задачу спроектировать КУ с опережением по фазе при заданной частоте среза _c* и заданном запасе устойчивости γ*:

1. Определяем требуемое значение

;

2. Находим

;

3. Находим параметр и частоты ₁=1/T, ₂=1/αT;

5. Выбираем коэффициент усиления k₂ так, чтобы ЛАЧХ скорректированной системы пересекла ось частот при частоте _c*.

Техническая реализация КУ с опережением по фазе

,

где

.

Коэффициент усиления нескорректированной системы надо увеличить в 1/α, чтобы включение цепи не повлекло за собой уменьшение коэффициента усиления системы.

Дата добавления: 2014-01-07