Взаимное расположение двух плоскостей. Пусть относительно общей декартовой системы координат две плоскости заданы своими общими уравнениями

Пусть относительно общей декартовой системы координат две плоскости заданы своими общими уравнениями

(1) (2)

Тогда имеют место следующие утверждения.

1. Для того чтобы плоскости заданные общими уравнениями и в общей декартовой системе координат, пересекались, необходимо и достаточно, чтобы соответствующие коэффициенты при х, у, z в уравнениях и не были пропорциональны.

2. Для того, чтобы плоскости заданные общими уравнениями и в общей декартовой системе координат, были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы соответствующие коэффициенты при х, у, z в уравнениях и были пропорциональны, но чтобы свободные члены не были им пропорциональны, т.е. чтобы существовало такое число, что

.

3. Для того, чтобы плоскости заданные общими уравнениями и в общей декартовой системе координат, совпадали, необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты уравнений и были пропорциональны, т.е. существовало такое число что:

,

или

. (3)

Докажем сначала достаточность признаков.

1. Если тройки и непропорциональны, то найдутся пары соответствующих чисел из этих троек, например и, которые также непропорциональны.

Полагая в данных уравнениях и, получим уравнения

;

определяющие в плоскости хОу уравнения прямых, по которым плоскости и пересекают плоскость хОу (эти прямые есть следы плоскостей и на координатной плоскости хОу). В силу того, что пары и непропорциональны, эти следы пересекаются, следовательно пересекаются и данные плоскости.

2. Если, то уравнение эквивалентно следующему; или. Свободные члены и уравнений и в силу условия различные, значит, любое решение уравнения не является решением уравнения; это значит, что ни одна из точек, лежащих на плоскости, заданной уравнением, не лежит на плоскости, заданной уравнением, следовательно эти плоскости параллельны.

3. Если то левые части данных уравнений и отличаются числовым множителем, не равным нулю, а значит, эквивалентны.

Необходимость все признаков доказывается сразу методом от противного.

Замечание. Для того чтобы плоскости, заданные общими уравнениями

;

относительно общей декартовой системы координат пересекались, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось любое из следующих условий.

1. Хотя бы один из определителей

был отличен от нуля.

2. Главные векторы и данных плоскостей были бы неколлинеарны.

3.

Необходимое и достаточное условие параллельности двух плоскостей заключаются в выполнении одного из условий

1.,

но хотя бы один из определителей

не равен нулю.

2. Главные векторы, данных плоскостей коллинеарны, но.

3.

Необходимое и достаточное условие совпадения двух плоскостей заключается в выполнении одного из условий

1.

2. Главные векторы, данных плоскостей коллинеарны и.

3.

Все это лишь другие формулировки уже доказанной теоремы.

Дата добавления: 2014-01-07