КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Переход от одной декартовой прямоугольной системы координат к другой прямоугольной системы в пространстве
Введем в пространстве две прямоугольные системы координат и с общим началом координат. Обозначим через единичные векторы осей Ох, Оу, Оz, а через - единичные векторы осей (рис. 147). Координаты единичного вектора в ортонормированном базисе т. е. в базисе, векторы которого единичные и попарно ортогональные, являются косинусами углов между этим единичным вектором и векторами . Обозначая углы между вектором и векторами через углы между и векторами через и углы между вектором и векторами через будем иметь (§ 98) (1)
где - координаты произвольной точки М в системе , а - координаты той же точки М в системе . Матрица перехода имеет вид . Она ортогональная, т.е. сумма квадратов элементов, расположенных в каждом столбце, равна 1, так как векторы единичные, а сумма произведений соответствующих элементов двух любых различных столбцов равна нулю (т.к. векторы попарно ортогональные). Так как определитель равен а векторы - единичные, и попарно ортогональные, то этот определитель равен . Он равен +1, если упорядоченная тройка векторов имеет ту же ориентацию, что и упорядоченная тройка , и – 1, если эти упорядоченные тройки векторов имеют противоположную ориентацию. Можно сказать и так: детерминант матрицы А равен в зависимости от того, имеют ли системы и одинаковую или противоположную ориентацию. Отметим частный случай преобразования декартовой прямоугольной системы координат в декартовую прямоугольную той же ориентации при условии, что оси и совпадают. В этом случае формулы (1) принимают вид: , (2)
где - угол от оси Ох до оси в плоскости хОу, причем ориентацию этой плоскости задаем системой координат хОу. В этом частном случае будем говорить, что система получается из системы поворотом вокруг оси на угол .
Обратно, пусть задана ортогональная матрица порядка: (3) т.е. (4) Введем в пространстве прямоугольную систему координат . Векторы (5) в силу соотношений (4) единичные и попарно ортогональные. Рассмотрим систему с единичными векторами . Тогда формулы связывают координаты и в одной и той же точке М в системах и . Если в пространстве введены две декартовы прямоугольные системы координат и , то координаты любой точки М пространства в системе через координаты той же точки в системе выражаются соотношениями (рис. 148). где углы между осями Ох, Оу, Оz, :
а - координаты точки в системе . Старые и новые координаты и вектора при общем преобразовании декартовой прямоугольной системы координат в декартову прямоугольную имеют вид
Дата добавления: 2014-01-07; Просмотров: 1259; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |