Сумма, разность и произведение числа на вектор в координатах

Теорема 5. Координаты суммы двух векторов равны суммам соответствующих координат слагаемых, т.е. если относительно общей декартовой системы координат на плоскости заданы векторы

и ,

то

.

Доказательство. Пусть в общей декартовой системе координат на плоскости заданы векторы и . Спроектируем и на ось Ох параллельно оси Оу. Пусть пр.пр., пр.- эти проекции. На основании теоремы 1 § 33 и теоремы 3 § 34 имеем:

коорд.пр.коорд.(пр.+пр.)=коорд.пр.+ +коорд.пр.. Но по определению координат вектора коорд.пр., коорд.пр., а коорд.пр.есть первая координата вектора .

Таким образом первая координата вектора равна . Аналогично доказывается, что вторая координата вектора равна .

В случае пространства надо проектировать данные векторы на оси параллельно координатным плоскостям.

Следствие. Координаты разности двух векторов равны разностям соответствующих координат и , т.е. если относительно общей декартовой системы координат на плоскости даны векторы

и , то

.

Если относительно общей декартовой системы координат в пространстве даны векторы

и ,

то

.

Для доказательства достаточно заменить, что

.

и .

Теоремы 6. Координаты произведения числа на вектор равны произведениям этого числа на соответствующие координаты вектора, т.е. если относительно общей декартовой системы координат задан вектор (на плоскости) или (в пространстве),

то (на плоскости)

(в пространстве).

Доказательство. Проведем доказательство для плоскости (доказательство для пространства аналогично). Пусть пр.- проекция вектора на ось Ох параллельно оси Оу. В силу теоремы 2 § 33 и теоремы 4 § 34 имеем:

коорд.пр.коорд.(пр.)=(коорд.пр.).

Аналогично доказывается, что вторая координата вектора равна . ч.т.д.

Дата добавления: 2014-01-07