План решения задач на отыскание интервалов монотонности функции и нахождение экстремумов с помощью первой производной

1. Найти область определения функции .

2. Найти производную функции

3. Найти критические точки, где или не существует.

4. Исследовать знак слева и справа от каждой критической точки.

5. Сделать вывод о промежутках возрастания и убывания функции, о максимумах и минимумах функции.

Пример. Найти интервалы монотонности и точки экстремума функции

Решение. 1. Область определения

2.

3. т.е. - точки, подозрительные на экстремум.

4. Исследуем знак в каждом интервале (слева и справа от каждой критической точки):

Итак, функция возрастает при и убывает при . Функция имеет максимум и минимум При экстремума нет.

Если поставлена задача отыскания экстремумов функции, то в ряде случаев бывает удобна пользоваться следующей теоремой.

Теорема… (второе достаточное условие экстремума) Если в точкепервая производная функции равна нулю (), а вторая производная в точке существует и отлична от нуля (), то при в точке функция имеет максимум; при в точке функция имеет минимум.

Пример. Найти экстремумы функции

Решение. 1. Область определения

2.

3. т.е. - критические точки.

4. Определим знак в каждой критической точке:

значит точка минимума функции, причем

значит точка максимума функции, причем

значит точка минимума функции, причем

Дата добавления: 2014-01-07