Аксиомы статики

Условия, при которых тело может находиться в равновесии, выводятся из нескольких основных положений, принимаемых без доказательств, но подтвержденных опытом и называемых аксиомами статики.

Аксиома 1 (аксиома инерции или первый закон Ньютона).

Всякое тело сохраняет свое состояние покоя или прямолинейного равномерного движения, пока какие-нибудь силы не выведут тело из этого состояния.

На основании этой аксиомы состоянием равновесия называется такое состояние, когда тело находится в покое или движется прямолинейно и равномерно, т.е. по инерции.

Аксиома II (аксиома взаимодействия или третий закон Ньютона).

Силы взаимодействия между собой двух тел всегда равны по модулю и направлены по одной прямой в противоположные стороны.

Из третьего закона Ньютона вытекает, что все силы природы - силы парные.

Если какая-нибудь система сил после приложения ее к свободному телу не изменяет его механического состояния, то такая система сил называется уравновешенной.

Аксиома III (условие равновесия двух сил).

Для равновесия свободного твердого тела, находящегося под действием двух сил, необходимо и достаточно, чтобы эти силы были равны по модулю и действовали по одной прямой в противоположные стороны.

Аксиома IV.

Равновесие твердого тела не нарушится, если к нему приложить или удалить уравновешенную систему сил.

Следствие из аксиом III и IV

Механическое состояние твердого тела не нарушится от перенесения силы вдоль линии ее действия.

Доказательство. Пусть на твердое тело в числе других действует сила Р, приложенная в точке А, с линией действия ab (рис. 2). В произвольно взя-

Рис. 2

той на линии аb точке В приложим две равные по модулю и противоположно направленные силы p₁ и p₂, действующие по линии ab. Согласно аксиоме III, силы p₁ и p₂ взаимно уравновешены, а на основании аксиомы IV их можно приложить к телу, не нарушая механического состояния. Подберем силы p₁ и p₂ равными по модулю силе Р, т.е.

p₁ = p₂ = p

На основании аксиомы IV отбросим силы p и p₂ как взаимно уравновешенные. Тогда оставшуюся силу p₁ можно рассматривать как силу Р, перенесенную из точки А в точку В по линии действия. При этом механическое состояние не изменится. Следствие доказано.

Две различные системы сил называются эквивалентными, если одну из них можно заменить другой, не нарушая механического состояния свободного тела.

Одна сила, эквивалентная данной системе сил, называется равнодействующей, а силы, входящие в эту систему - составляющими.

Аксиома V (аксиома параллелограмма).

Равнодействующая двух сил, приложенных к телу в одной точке, равна по модулю и совпадает по направлению с диагональю параллелограмма, построенного на данных силах, и приложена в той же точке.

Построение диагонали параллелограмма (рис. 3, а), сторонами которого являются заданные векторы, называется векторным или геометрическим сложением. Таким образом, можно сказать, что равнодействующая двух сил, приложенных в одной точке, равна их векторной сумме, т.е. и приложена в той же точке.

Равнодействующую двух сил можно найти, построив вместо параллелограмма треугольник сил (рис. 3, б). Из рисунка видно, что порядок сложения векторов не влияет на величину равнодействующей, т.е.

Модуль и направление равнодействующей двух сил, приложенных в одной точке, можно определить аналитически, для чего рассмотрим треугольник ABC (рис. 3, а).

По теореме косинусов имеем

откуда модуль равнодействующей будет иметь вид

По теореме синусов имеем:

откуда найдем направление равнодействующей:

Частные случаи сложения двух сил будут:

Дата добавления: 2014-01-07