Плоская система произвольно расположенных сил

Приведение силы к точке. Рассмотрим случай переноса силы в произвольную точку, не лежащую на линии действия силы. Возьмем силу Р (рис. 3), приложенную в точке А.

Рис. 3

Требуется перенести эту силу параллельно самой себе в некоторую точку О, называемую центром приведения. На основании аксиомы IV приложим в точке О две силы Р' и Р", противоположно направленные, равные по модулю и параллельные заданной силе Р, причем

Опустим из точки на линию действия силы Р перпендикуляр а. Тогда полученную систему трех сил можно рассматривать как состоящую из силы Р', приложенной в точке О и пары сил РР" с моментом М = Р • а. Эту пару сил называют присоединенной.

Таким образом, при приведении данной силы к точке, не лежащей на линии действия силы, получается эквивалентная система, состоящая из силы, такой же по модулю и направлению, как и данная сила, и присоединенной пары сил, момент которой равен моменту данной силы относительно точки приведения, т.е.

Приведение плоской системы сил к данной точке. Описанный метод приведения одной силы к данной точке можно применить к какому угодно числу сил. В этом случае плоскую систему сил, приложенных в различных точках, заменяют сходящимися силами Р₁, Р₂, Р₃ ... Р_n, приложенными в центре приведения, и парами сил с моментами, равными моментам заданных сил относительно центра приведения. Сходящиеся в точке силы можно заменить одной силой R₁, равной геометрической сумме составляющих, т.е.

Эту силу называют главным вектором системы сил. Главный вектор плоской системы произвольно расположенных сил равен алгебраической сумме всех сил системы и приложен в центре приведения.

На основании правила сложения пар сил их можно заменить результирующей парой, момент которой равен алгебраической сумме моментов заданных сил относительно центра приведения О. Эту пару с моментом M₀ называют главным моментом заданной системы сил, т.е.

Главный момент плоской системы произвольно расположенных сил равен алгебраической сумме моментов всех сил системы относительно центра приведения.

Могут встретиться следующие случаи приведения системы сил:

- общий случай. Система приводится к главному вектору и главному моменту.

Система приводится к одной равнодействующей, равной главному вектору системы сил.

Система приводится к паре сил, момент которой равен главному моменту.

Система находится в равновесии.

В общем случае, когда

всегда имеется точка, относительно которой главный момент системы равен нулю.

Рассмотрим плоскую систему сил, которая приведена к точке О, т.е. заменена главным вектором R' ≠ 0, приложенным в точке О, и главным моментом М₀ ≠ 0 (рис. 4).

Рис. 4

Изобразим этот главный момент парой сил RR", модуль которых выберем равным модулю главного вектора R', т.е. R = R" = R'. Одну из сил, составляющих пару, - силу R"— приложим в центре приведения О, а другую силу - R - в некоторой точке с, положение которой определится из условия:

Следовательно, плечо ОС будет равно

Расположим пару сил RR" так, чтобы сила R" была направлена в сторону, противоположную главному вектору R'. В точке О имеем две взаимно противоположные силы R' и R", направленные по одной прямой. Согласно аксиоме IV их можно отбросить. Следовательно, относительно точки С главный момент рассматриваемой силы равен нулю, т.е. М₀ = 0, и система приводится к равнодействующей R..

Теорема о моменте равнодействующей (теорема Вариньона).

Как было сказано, главный момент в общем случае записывается в виде:

Как было показано выше, центр приведения можно выбрать в точке (рис. 4, точка С), относительно которого главный момент будет равен нулю, и система сил приведется к равнодействующей R, по модулю равной главному вектору R', т.е. R = R'. Определим момент равнодействующей R относительно точки О. Учитывая, что плечо ОС силы R равно , получим:

Следовательно, можно записать:

Полученное уравнение называется теоремой Вариньона: момент равнодействующей плоской системы сил относительно произвольно взятой точки равен алгебраической сумме моментов составляющих сил относительно той же точки.

Из теоремы Вариньона также следует: главный момент плоской системы сил относительно любой точки, лежащей на линии действия ее равнодействующей, равен нулю.

Дата добавления: 2014-01-07