П. 4.2. Кванторные операции

1. Квантор всеобщности.

Определение 4.10. Пусть – предикат, . Под выражением понимают высказывание, истинное, если истинно для каждого элемента , и ложно в противном случае.

Символ называется квантором всеобщности. Словесное выражение звучит так: «для всякого х ». Переменная х в предикате называется свободной, а в высказывании переменная х называется связанной переменной.

Пример 10:

Установить истинность или ложность высказывания , .

: "" на множестве принимает значение «истинно» только при , следовательно не является истинным на множестве , следовательно по определению является ложным.

2. Квантор существования.

Определение 4.11. Пусть – предикат, . Под выражением понимают высказывание, истинное, если существует элемент , для которого истинно, и ложно в противном случае.

Символ называется квантором существования. Словесное выражение звучит так: «существует х, при котором ».

Пример 11:

Установить истинность или ложность высказывания , .

: "", на множестве существует два элемента , для которых принимает значение истинно, следовательно – истинно по определению.

Кванторные операции применяются и к многоместным предикатам. Применение кванторной операции к предикату по переменной х ставит в соответствие двухместному предикату одноместный предикат или , зависящий от у и не зависящий от х. К двухместному предикату можно применить кванторные операции по обеим переменным. Тогда получится восемь высказываний:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. .

В общем случае изменение порядка следования кванторов изменяет смысл высказывания и его логическое значение, то есть, например, высказывания и различны.

Дата добавления: 2014-01-07