И доказательство методом от противного

Если задано утверждение А, то построить можно с помощью равносильных преобразований. Иногда это, приводит к тому, что дает негативное (неконструктивное) определение.

Пример:

1) Определение бесконечно малой функции.

«Функция называется бесконечно малой при , если ».

Это определение запишем на язык :

где – трехместный предикат, определяющий условие предельного периода.

Найдем его отрицание:

Это негативное определение. Оно подойдет для формирования контрпримера для того, чтобы доказать, что – не бесконечно малая величина в точке а.

Позитивное определение бесконечно большой величины такое:

2) Рассмотрим построение утверждения, отрицающего справедливость некоторой теоремы: .

. Следовательно, чтобы доказать, что теорема неверна, достаточно указать такой элемент , для которого истинно, а ложно, то есть привести контрпример.

Пример: Рассмотрим утверждение: « Если функция непрерывна в точке , то она и дифференцируема в этой точке».

Пусть М – множество всех функций, определенных в точке,-предикат, выражающий свойство функции быть непрерывной, а - свойство быть дифференцируемой в точке в точке . То теорема имеет вид .

Противоположное утверждение , то есть найдется функция, определенная в точке , которая непрерывна, но не имеет производной в . Простейшая из всех таких функций .

Схема доказательства от противного очень похожа на только что рассмотренный пример: предполагается, что теорема неверна, т.е. истинно противоположное утверждение .

Если из последней формулы путем логический рассуждений приходят к неверному утверждению, то делается вывод о том, что исходная теорема верна.

Дата добавления: 2014-01-07