Понятие отношения

Отношение может быть установлено как на парах объектов (бинарные отношения), так и для троек, четверок и т.д. Например, отношение "быть хоккейной командой" устанавливается на множествах из шести человек (разумеется, находящихся на поле).

Пусть дано некоторое множество M. Рассмотрим множество всех пар вида <x, y>, где x и y - элементы множества M. Эти пары считают упорядоченными, то есть будем различать пару <x, y> от пары <y, x>. Множество таких пар принято обозначать M x M.

Отношением A на множестве M мы будем называть любое подмножество A множества M x M.

Содержательный смысл такого определения состоит как раз в том, что выбор подмножества A во множестве M x M определяет, какие пары находятся в отношении A. Это обстоятельство подчеркивается следующим соглашением об обозначениях. Если пара <x, y> входит в A, то есть , то мы пишем xAy, что читается: "x находится в отношении A с y".

Следует подчеркнуть, что отношение - это не просто множество соответствующих пар, а подмножество множества пар М х М при фиксированном множестве М. Более формально можно сказать, что отношением называется упорядоченная пара <A, M>, где . Множество М называют областью задания отношения А, а МхМ - универсумом для всех отношений, которые могут быть определены.

Множество пар А называют также графиком отношения <A, M>.

Пример. Пусть М - некоторое множество людей. И пусть А – множество таких пар <x, y>, что "x знаком с y".

Бинарное отношение может быть установлено на декартовом произведении разных двух множеств M x L. В общем случае может быть определено отношение на декартовом произведении любой «-арности»: M x L x N x … x K. В нашем примере АТТЕСТАТ, ПАСПОРТ и пр.

n- арное отношение можно представить в виде плоской таблицы, столбцы которой поименованы названиями множеств области задания отношения: M, L, N, …, K. Эти имена называют атрибутами. Конкретное значение атрибута, представленное в таблице, называется денотатом. В свою очередь вся возможная совокупность уникальных (неповторяющихся) денотатов данного атрибута называется доменом. Если берется по одному элементу из домена по всей таблице отношения, то такая совокупность называется кортежем. В итоге каждый кортеж оказывается точкой в декартовом произведении доменов (универсуме) - элементом отношения. Отношение задано, если некоторым способом задана область в декартовом произведении доменов. Этим же способом автоматически задаётся дополнение множества до универсума. Таким образом, если задано отношение A(a₁, a₂,..., a_n) с именем A и атрибутами (элементами) a_i, i=1,..., n, то каждый из них определяет место, на котором в отношении A может находиться экземпляр (конкретное значение d_is) типа a_i, что может быть представлено таблицей 6

Таблица 6.

A

а1	а2		…	аn
d11	d21			dn1*
d12*	d22		dn2
d13	d23*		dn3
…	…
d1k	d2r		…	dnp

здесь имя столбца ai задает домен <d_i1, d_i2,..., d_ij> в котором денотаты d_i1, d_i2,..., d_ij - конкретные неповторяющиеся значения атрибута a_i. Кроме того, домен задает все множество возможных значений атрибута. Когда отношение A реализуется в конкретной базе данных, естественно при заполнении БД показатели в столбцах могут повторяться, а понятие домена может реализоваться в виде классификатора, в котором имена не повторяются и конкретные значения выбираются для заполнения кортежей БД. Кортеж набирается из конкретных денотатов, по одному из каждого домена, что в таблице показано звездочками. И для данного примера кортеж представлен вектором <d₁₂, d₂₃,..., d_n1>.

Например, отношение ЗДАНИЕ может иметь атрибуты:

a₁:= «Материал_стен»,

a₂:= «Этажность»,

a₃:= «Тип_кровли».

И отношение ЗДАНИЕ записывается:

ЗДАНИЕ (Материал_стен, Этажность, Тип_кровли)

Домен «Материал_стен» может выглядеть так:

бетон

шлакобетон

керамзитобетон

пенобетон

опилкобетон

кирпич

дерево

…

Кортеж может выглядеть так:

ЗДАНИЕ_П311(бетон, девять, шифер)

Дата добавления: 2014-01-07