Этапы построения моделей

Сущность построения математической модели состоит в том, что реальная система или операция, реализуемая ей, упрощается, схематизируется и описывается с помощью того или иного математического аппарата.

Построение модели начинается с подготовительного этапа, связанного с уяснением поставленной задачи (см. предыдущие лекции). Уточняется цель исследования, а соответственно и цель построения модели, условия решения задачи исследования, в частности, допущения и ограничения, а также стратегия решения задачи. Проводится осмысление основных путей достижения цели.

Собственно работы по разработке модели открывает содержательное описание моделируемого объекта (концептуальное моделирование). Этот этап является одним из основных. Моделируемый объект описывается с позиций системного подхода. Здесь в полной мере реализуется вся совокупность методологических установок. Описание исследуемого объекта ведется на естественном языке с использованием разнообразных выразительных средств. В результате получают концептуальную модель. Эта модель должна быть ориентирована на выявление определенных свойств объекта-прототипа и показателей его качества в соответствии с целями моделирования. При разработке концептуальной модели необходимо обосновать то, что должно войти в нее, и то, что может быть отброшено без существенных искажений результатов моделирования. Как правило, концептуальная модель отличается избыточностью информации. Процесс ее создания никогда не может быть полностью формализован, однако при его проведении возможно использование элементов теории графов, множеств и т.д. При построении концептуальной модели происходит дальнейшее осмысление поставленной задачи. Рассматриваемый этап является обязательным, так как содержательное описание служит базисом для дальнейшего построения модели.

Следующим этапом является собственно разработка математической модели. Математические методы, лежащие в основе математического моделирования, безотносительны к физической природе исследуемого объекта. Поэтому математические модели относятся к классу абстрактных, а сущность разработки таких моделей сводится к описанию объекта моделирования формальными средствами. Необходимо отметить, что в качестве объекта моделирования или формализации выступает концептуальная модель, создаваемая на этапе постановки задачи.

В процессе построения математических моделей можно выделить два относительно самостоятельных этапа. На первом осуществляется переход от описания концептуальной модели в терминах предметной области к ее описанию в терминах выбранного математического метода, то есть формализация содержательного описания (построение формальной модели).. В результате объект исследования теряет свою физическую сущность и становится абстрактным. Второй этап связан с описанием формализованной модели математическими средствами, то есть собственно построением модели математической.

Изложенный подход к структуризации процесса разработки математической модели позволяет разделить полномочия сторон - заказчика и исполнителя, представляющих субъекты исследования. Он же позволяет снизить требования к компетенции исполнителя в части знания объекта исследования - средств и комплексов автоматизации. Исполнитель должен проявлять высокий профессионализм в области математического моделирования. Нетрудно видеть, что требования к профессиональным качествам заказчика противоположны изложенным для исполнителя.

В широком смысле модель может и должна рассматриваться как средство накопления знаний, полученных в результате проведения исследований. С этой точки зрения в ряде случаев достаточным оказывается выбор готовой модели, если имеется уверенность в ее адекватности новому объекту исследования. Причем удачно выполненное формальное терминологическое описание концептуальной модели позволит воспользоваться моделью, построенной для достаточно далекого от исследуемого объекта, и тем самым свести задачу к известной. В общем случае для этого необходимо разработать дополнительные, достаточно простые модели, осуществляющие сопряжение решаемой задачи и выбранной модели на уровне входных и выходных данных. Возможны ситуации, когда сопряжение сводится к иной, нежели это предусмотрено, интерпретации исходных данных и результатов известной задачи.

Разработка модели может рассматриваться как решение некоторой математической задачи - дескриптивной или оптимизационной. Первая имеет целью построение удовлетворительного описания исследуемого объекта, вторая - оценку предельных значений показателей качества или поиск варианта исходных данных, обеспечивающего экстремальное значение критерия качества.

Разнообразные методы построения моделей, которыми располагает современная математика, позволяют создавать различные модели одного и того же объекта, обладающие различным качеством. Каждый метод ориентирован на модели определенного класса, в связи с чем и то и другое можно классифицировать единым образом. Так, различают аналитические и имитационные модели. Первые представляют собой совокупность математических выражений, связывающих выходные и входные данные, вторые предполагают построение алгоритма функционирования исследуемого объекта.

Возможности аналитического исследования определяются выбранным методом, применение которого требует принятия некоторых специальных допущений, часто весьма существенных. Каждое из этих допущений в той или иной степени ведет к уменьшению адекватности модели, в связи с чем требуется обоснование приемлемости аналитического моделирования в каждом конкретном случае.

Несмотря на отмеченные ограничения к аналитическому исследованию на практике стремятся в первую очередь, поскольку получение функциональных зависимостей, тем более в явном виде, к тому же ограниченных множеством элементарных функций, является наиболее полным решением задачи.

Однако для достижения этой цели необходимо решение так называемой проблемы сложности модели, которое в общем случае состоит в преднамеренном упрощении модели и получении хотя бы приближенного решения.

Методы упрощения могут быть самыми различными. Их выбор зависит от многих факторов - цели и условий решения задачи, типа математической модели, квалификации исследователя. Последнее часто имеет решающее значение. Особенности вычислительных систем как объектов исследования имеют своим следствием тот факт, что их аналитические модели в большинстве своем относятся к вероятностным и тем самым ограничивают диапазон возможных методов снижения их сложности. Так, полнота построения вероятностных моделей заключается в нахождении функций распределения оцениваемых показателей. Однако найти решение в таком виде удается лишь в некоторых частных случаях, ибо, как правило, результирующие функциональные зависимости либо не являются явными, либо выходят за диапазон элементарных функций.

В подобных ситуациях можно поступить различным образом. Например, получить результат в численном виде для некоторых наборов исходных данных и считать его промежуточным. После чего построение модели сводится к аппроксимации полученного результата и формированию заданных функциональных зависимостей. В случае неприемлемости такого метода получения общего решения ограничиваются частным решением - находят функциональные зависимости лишь для некоторых моментов распределения, как правило, первого, реже - второго.

Наконец, когда трудности, возникающие при построении вероятностной модели, оказываются непреодолимыми, задачу сводят к детерминированной. Для этого случайные величины заменяются их математическими ожиданиями, что дает основание называть подобные модели моделями средних. Этот прием достаточно широко используется в процессе исследования вычислительных систем и состоит в представлении процессов их функционирования в виде временных диаграмм. Однако, как подчеркивалось выше, такой метод упрощения применим лишь тогда, когда имеет место стохастический детерминизм.

Кроме того, особого внимания заслуживают так называемые асимптотические методы снижения сложности аналитических моделей. Их сущность состоит в замене некоторой функции ее асимптотой или средним значением. Причем замене может подвергаться не одна, а несколько функций, входящих в конечное выражение. В ряде случаев эти методы позволяют не просто снизить сложность моделей, но привести к принципиальной разрешимости задачи в заданном виде.

Асимптотические методы находят свое применение при оценке предельных значений показателей качества. Например, при оценке выигрыша в производительности ЭВМ от введения буферного запоминающего устройства, когда процессы его загрузки некоторым массивом и обработки последнего выполняются строго последовательно, необходимо знать отношения длительностей этих процессов. Нетрудно видеть, что это отношение зависит от кратности использования каждого элемента массива и с ее ростом стремится к нулю, который и является асимптотой функции отношения рассматриваемых времен. Очевидно, переход к асимптотической оценке производительности ЭВМ в данном случае означает, что время загрузки буферной памяти принимается пренебрежимо малым.

Приведенный пример помимо прочего показывает, что учет асимптотических оценок может выполняться уже на этапе постановки задачи в процессе построения концептуальной модели.

Имитационные модели позволяют преодолеть основные ограничения, свойственные аналитическим моделям, и выступают альтернативой последним. Вероятностный характер функционирования вычислительных систем приводит к необходимости построения имитационных моделей, предназначенных для их исследования, исключительно на основе метода статистических испытаний, что и дает повод называть эти модели статистическими.

Названный метод в известной мере можно считать универсальным, ибо он не имеет принципиальных ограничений на степень детализации исследуемых процессов, а следовательно, и точность моделирования. Однако методу статистических испытаний, как и любым численным методам, присущ недостаток, связанный со сложностью установления функциональных зависимостей между численными значениями параметров. Результаты носят частный характер, поскольку представляют систему только в дискретных точках пространства исходных данных.

Проблема сложности применительно к имитационным моделям состоит лишь в трудоемкости их построения, но не в принципиальной разрешимости задачи.

Рассмотренные особенности каждого из двух классов математических моделей определяют целесообразность их сочетания при оценке качества вычислительных систем. Аналитические модели наиболее удобны на первых, поисковых, этапах создания систем, когда определяющим является требование быстрого получения оценок показателей качества. На этих этапах необходимость в модельном эксперименте возникает достаточно часто. В то же время задача детального и точного исследования не ставится, поскольку ни структурный, ни параметрический синтез еще не завершен. Поэтому возможность оперативного получения результатов позволит заметно сократить время поиска приемлемых решений.

Дальнейшая детализация создаваемой системы в рамках аналитического моделирования возможна лишь до некоторого предела, после которого целесообразным становится переход к имитационному моделированию. Как правило, при этом диапазон возможных решений по созданию комплекса автоматизации существенно сокращается, что и оправдывает разработку статистических моделей для каждого из исследуемых вариантов.

Разработка математической модели не исчерпывает содержания процесса разработки инструментальных средств. Современные исследования, как правило, проводятся с применением средств автоматизации. Что касается оценки качества вычислительных систем, то автоматизация исследований становится не просто желательной, но обязательной. Причина этого состоит в высокой трудоемкости математических моделей.

Причем это утверждение справедливо не только для статистических моделей, реализация которых ручными методами в принципе невозможна, но и для большинства аналитических. Последние могут строиться не только на основе методов теории вероятностей или массового обслуживания, но и с использованием комбинаторных методов. Однако, даже если построенная модель относительно проста, но требуется получить с ее помощью численные результаты на множестве наборов исходных данных, автоматизация расчетов становится целесообразной.

Таким образом, разработка математической модели в большинстве случаев естественным образом приводит к разработке программы, реализующей ее на ЭВМ. Большая трудоемкость этого процесса побуждает некоторых авторов выделять его в самостоятельный этап исследований, повышая тем самым его роль.

Следующий этап построения модели - это оценка качества модели, центральное место в котором отводится оценке адекватности модели На данном этапе осуществляется проверка того, насколько разработанная модель равнозначна объекту-прототипу, а значит и пригодна к использованию. По результатам проверки модели на адекватность принимается решение о возможности ее практического использования либо о проведении корректировки.

Дата добавления: 2014-01-07