Пространственные дифференциальные операторы в теории электромагнитного поля

Пример применения MATLAB

Задача.

Дано: Контур с электрическим током I в пространстве представляет собой периметр треугольника, декартовы координаты вершин которого заданы: x ₁, x ₂, x ₃, y ₁, y ₂, y ₃, z ₁, z ₂, z ₃. Здесь нижние индексы – номера вершин. Вершины пронумерованы в направлении протекания электрического тока.

Требуется составить функцию MATLAB, вычисляющую вектор дипольного магнитного момента контура. При составлении m-файла можно предполагать, что пространственные координаты измеряются в метрах, а ток – в амперах. Допускается произвольная организация входных и выходных параметров.

Решение. Ниже приведён текст m-функции.

% m_dip_moment - вычисление магнитного дипольного момента треугольного контура с током в пространстве

% pm = m_dip_moment(tok,nodes)

% ВХОДНЫЕ ПАРАМЕТРЫ

% tok - ток в контуре;

% nodes - квадратная матрица вида [x1, x2, x3; y1, y2, y3; z1, z2, z3].’, в каждой строке которой записаны координаты соответствующей вершины.

% ВЫХОДНОЙ ПАРАМЕТР

% pm - матрица-строка декартовых компонентов вектора магнитного дипольного момента.

function pm = m_dip_moment(tok,nodes);

pm=tok*[det([ones(3,1) nodes(:,[2,3])]) det([ones(3,1) nodes(:,[3,1])]) det([ones(3,1) nodes(:,[1,2])])]/2;

% В последнем операторе вектор площади треугольника умножается на ток

Пример запуска разработанной m-функции:

>> nodes=10*rand(3)

nodes =

9.5013 4.8598 4.5647

2.3114 8.913 0.18504

6.0684 7.621 8.2141

>> pm=m_dip_moment(1,nodes)

pm =

13.442 20.637 -2.9692

В данном случае получилось P _M = (13.442× 1 _x + 20.637× 1 _y - 2.9692× 1 _z) А×м², если ток в контуре равен 1 А.

Градиентом скалярного поля Φ(Q) = Φ(x, y, z) называется векторное поле, определяемое формулой:

,

где V ₁ – область, содержащая точку Q; S ₁ – замкнутая поверхность, ограничивающая область V ₁, Q ₁ – точка, принадлежащая поверхности S ₁; δ – наибольшее расстояние от точки Q до точек на поверхности S ₁ (max| Q Q ₁|).

Градиент является количественной мерой изменчивости в пространстве распределения скалярного поля в каждой точке наблюдения.

Дивергенцией векторного поля F (Q)= F (x, y, z) называется скалярное поле, определяемое по формуле:

Дивергенция является количественной мерой расходимости в пространстве распределения векторного поля в каждой точке наблюдения.

Ротором (вихрем) векторного поля F (Q)= F (x, y, z) называется векторное поле, определяемое по формуле:

rot F =

Ротор является количественной мерой закрученности в пространстве распределения векторного поля в каждой точке наблюдения.

Оператор набла – это векторный дифференциальный оператор, который в декартовых координатах определяется формулой:

Представим grad, div и rot через оператор набла:

Запишем эти операторы в декартовых координатах:

; ;

Оператор Лапласа в декартовых координатах определяется формулой:

Дифференциальные операторы второго порядка:

Дата добавления: 2014-01-07