Поле двух разноименно заряженных осей

Электростатические поля простых двухпроводных линий

Пусть в однородном диэлектрике находятся две параллельные бесконечно длинные оси, равномерно и разноименно заряженные с линейной плотностью заряда +и -(рис. 3). Изобразим на рисунке следы этих осей в плоскости поперечного сечения

Рис. 3.

Если принять , т.е. на оси симметрии. то А =0. Теперь определим уравнение эквипотенциальных поверхностей. На этих поверхностях r ₂/ r ₁= k = const. Здесь k – параметр семейства эквипотенциальных линий в плоскости рисунка.

Выразим r ₂ и r ₁ в декартовых координатах и выведем уравнение эквипотенциали в канонической форме относительно координат х и у

r ₂ = ((x + a) ² + y ²)^0,5; r ₁ = ((x – a) ² + y ²)^0,5

(x + a)² + y ² = k ² (x – a)² + k ² y ²

(x + a)² – k ² (x – a)² + y ²(1 – k ²)= 0

x ²(1 – k ²) + 2 ax (1 + k ²) + a ²(1 – k ²) + y ²(1 – k ²) = 0

x ² + 2 ax (1 + k ²)/(1 – k ²) + y ² + a ² = 0

(x + a (1 + k ²)/(1 – k ²))² + y ² = (a (1 + k ²)/(1 – k ²))² – a ² = (2 ak /(1 – k ²))²

Здесь получено уравнение окружности в канонической форме:

(x – s)² + y ² = R ² (1)

где s = a (k ²+1)/(k ²– 1) – координата центра окружности.

R = a |2 k /(1 – k ²)| – радиус окружности.

Мы получили выражения для координаты центра и для радиуса эквипотенциальной линии по задаваемому параметру k, где .

В соответствии с уравнением (1) линии равного потенциала представляют собой окружности, а поверхности равного потенциала – круговые цилиндры, геометрические оси которых смещены относительно электрических осей. Одна из этих поверхностей вырождается в плоскость с нулевым значением потенциала (при k = 1: ; ).

Линии напряженности представляют собой дуги окружности, начинающиеся на оси с положительным зарядом и кончающиеся на оси с отрицательным зарядом.

Если семейство равнопотенциальных поверхностей рассечь параллельными плоскостями, перпендикулярными заряженным осям, то в каждой плоскости получится одна и та же картина линий. Поля, обладающие таким свойством, называются плоскопараллельными (иначе их называют двумерными полями).

Установив картину поля и использовав следствие теоремы о единственности, можно считать решенными столько новых задач, сколько имеется различных по взаимному расположению пар равнопотенциальных поверхностей, которые можно рассматривать как поверхности проводников.

Рассмотрим важнейшие частные случаи таких задач.

Дата добавления: 2014-01-07