Распределение вероятностей процесса на выходе статической нелинейной системы

Лекция 10.

Задача анализа прохождения случайного процесса через линейные системы сводится к оценке изменений корреляционной функции и соответствующей ей спектральной плотности. При этом плотность вероятности процессов на входе и выходе линейной системы не рассматривается, так как процесс на выходе сохраняет нормальное распределение. Однако при прохождении случайных процессов через нелинейные системы изменяется главным образом именно закон распределения (функция распределения) случайного процесса.

Точное определение функции распределения процесса на выходе динамической (даже линейной) системы представляет в общем случае практически неразрешимую задачу. Однако для статической системы, напротив, эта задача решается точно и в замкнутой форме для функции распределения любого порядка.

Пусть известны характеристика (4.33) статической нелинейной системы и многомерная плотность вероятности случайного процесса на входе системы. Обозначим через и через , . Тогда задача состоит в определении совместной плотности совокупности случайных величин , , получаемых в результате нелинейного преобразования вида

, (4.44)

Преобразование (4.33) в общем случае неоднозначное, то есть одному значению соответствует несколько значений аргумента . Поэтому функция обратная функции имеет несколько ветвей. Обозначим их через ,, .

Следуя геометрическому подходу, рассмотренному в п.4.11 введем событие , состоящее в том, что точка в -мерном эвклидовом пространстве принадлежит некоторой области и события , состоящие в том, что точка , . В этом случае событие будет эквивалентно объединению несовместимых событий (, где , ), а вероятности наступления этих событий можно определить с помощью элементарных объемов и , соответствующих областям и (рис 4.13).

. (4.45)

При достаточно малых объемах и областей и можно записать приближенные равенства

, . (4.46)

Предел отношения и при переходе от координат к координатам , когда и , равен якобиану преобразования

, (4.47)

Тогда из выражений (4.45 – 4.47), учитывая свойство неотрицательности искомой плотности вероятности (в выражении используется модуль якобиана), получим выражение для плотности вероятности случайного процесса на выходе нелинейной системы при неоднозначном преобразовании

. (4.48)

Если преобразование взаимно однозначное, то сумма в (4.48) содержит только один член.

Так как в рассматриваемом случае преобразованная -я случайная величина зависит только от -й входной случайной величины (4.44), то в определителе якобиана преобразования останутся только диагональные члены, а сам якобиан примет следующий вид:

,

Тогда из (4.48) получаем решение рассматриваемой задачи в форме следующего соотношения между плотностями вероятностей процессов на входе и выходе нелинейной системы:

.

Заметим, что корреляционную функцию и спектральную плотность мощности процесса на выходе нелинейной системы можно определять после того, как найдено, по крайней мере, двумерное распределение этого процесса. Однако если по условию задачи требуются только энергетические характеристики выходного процесса, часто проще воспользоваться результатами, приведенными в п. 4.14, не вычисляя предварительно двумерного распределения.

Наконец, отметим, что нелинейное неинерционное преобразование случайного процесса не вносит дополнительных вероятностных временных связей. Точнее говоря, если процесс до неинерционного преобразования полностью характеризовался -мерным распределением, то и после преобразования он будет полностью характеризоваться распределением -го порядка. В противоположность этому динамические системы вносят дополнительные вероятностные связи. Так, например, профильтрованный белый шум оказывается коррелированным.

Дата добавления: 2014-01-06