Распределения, использующиеся при описании числа требований к страховой компании

1. Биномиальное распределение. Случайная величина имеет биномиальное распределение с параметрами,, если

Характеристическая функция

.

Моменты

2. Отрицательное биномиальное распределение (распределение Паскаля). Случайная величина имеет отрицательное биномиальное распределение с параметрами если

Характеристическая функция

.

Моменты

При натуральном отрицательное биномиальное распределение описывает число испытаний в схеме Бернулли, необходимых для того, чтобы событие А, имеющего вероятность наступления в одном испытании, наступило ровно раз.

Пусть случайная величина, имеющая распределение Пуассона с параметром, то есть

.

Если рассматривать интенсивность в распределении Пуассона как случайную величину, имеющую гамма - распределение с плотностью

с параметрами, то, проинтегрировав по этой плотности распределение Пуассона, будем иметь

отрицательное биномиальное распределение. Вероятностный смысл данного преобразования - усреднение пуассоновских вероятностей по всевозможным значениям параметра интенсивности.

3. Геометрическое распределение. Случайная величина имеет геометрическое распределение с параметром, если

Характеристическая функция

.

Моменты

Данное распределение является частным случаем отрицательного биномиального распределения при, которое описывает число испытаний в схеме Бернулли до наступления первого «успеха».

4. Гипергеометрическое распределение. Случайная величина имеет гипергеометрическое распределение с параметрами (),, если

Моменты

5. Распределение Пойя. Это распределение является обобщением одновременно и биномиального и гипергеометрического распределений Случайная величина имеет распределение Пойя с параметрами (), если

Моменты

Распределение Пойя возникает в следующей урновой схеме.

Из урны, содержащей первоначально белых и - чёрных шаров выбирается наугад (т.е. равновероятно) один шар, фиксируется его цвет и шар возвращается в урну с одновременным добавлением новых шаров того же цвета. Затем из урны, содержащей теперь новое количество шаров, снова производится случайное извлечение одного шара и повторяется тот же процесс. Такая урновая схема может служить приближенной моделью явлений, подобных эпидемиям, когда осуществление некоторых событий увеличивает шанс их повторения и поэтому данное распределение широко используется при моделировании эпидемий заразных заболеваний (то есть широко применимо в медицинском страховании).

Пусть случайная величина - число вынимания белого шара. Если мало по сравнению с, то

6. Распределение Пуассона. Случайная величина имеет распределение Пуассона с параметром,, если

Характеристическая функция

.

Моменты

Распределение Пуассона является приемлемой моделью для описания случайного появления определённых событий в фиксированный промежуток времени.

7. Сложное пуассоновское распределение. Пусть – последовательность независимых неотрицательных одинаково распределённых случайных величин и – случайная величина, имеющая распределение Пуассона с параметром.

Распределение случайной величины называется сложным пуассоновским распределением.

Характеристическая функция случайной величины:

,

где – характеристическая функция случайных величин.

8. Логарифмическое распределение. Случайная величина имеет логарифмическое распределение с параметром, если

Характеристическая функция

Моменты

9. Распределение Бореля - Таннера. Случайная величина имеет распределение Бореля - Таннера с параметрами, - целое и, если

Моменты

В теории массового обслуживания распределение Бореля - Таннера определяется как распределение числа требований, обслуженных на периоде занятости в системе массового обслуживания с пуассоновским входящим потоком с параметром и постоянным временем обслуживания в том случае, когда в начальный момент длина очереди равна.

Распределения, использующиеся для описания величины иска к страховой компании.

Равномерное распределение. Случайная величина имеет равномерное распределение в интервале, если

Характеристическая функция

Моменты

2. Треугольное распределение (распределение Симпсона). Случайная величина имееттреугольное распределение (распределение Симпсона) в интервале, если

Характеристическая функция

Моменты

3. Показательное (экспоненциальное) распределение. Случайная величина имеетпоказательное (экспоненциальное) распределение с параметром, если

Характеристическая функция

Моменты

4. Гиперэкспоненциальное распределение. Случайная величина имеетгиперэкспоненциальное распределение с параметрами

, если

Характеристическая функция

Моменты

5. Гамма-распределение. Случайная величина имеет гамма-распределение с параметрами, если

Характеристическая функция

Моменты

6. Бета - распределение. Случайная величина имеет бета-распределение с параметрами,, если

Характеристическая функция

Моменты

7. - распределение. Случайная величина имеет - распределение с степенями свободы (>0), если

Характеристическая функция

Моменты

8. - распределение. Случайная величина имеет - распределение с степенями свободы (), если

Характеристическая функция

Моменты

.

9. F - распределение (распределение Фишера - Снедекора). Случайная величина имеет - распределение с степенями свободы, если

Моменты

10. Логарифмически нормальное (логнормальное) распределение. Случайная величина имеетлогарифмически нормальное (логнормальное) распределение с параметрами если

Моменты

.

11. Распределение Парето. Случайная величина имеетраспределение Парето с параметрами, - коэффициент сдвига,, если

Моменты

12. Распределение Вейбулла - Гнеденко. Случайная величина имеетраспределение Вейбулла - Гнеденко с параметрами, - коэффициент масштаба, если

Моменты

Дата добавления: 2014-01-07