Модель индивидуального риска

ТЕМА 2. СТАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СТРАХОВАНИЯ

В моделях индивидуального риска изучается поведение одного выделенного сектора из всего набора рисков, принятых страховщиком. В таких моделях считается, что иск может быть предъявлен с вероятностью и число возможных исков фиксировано и равно n. Предполагая, что весь ущерб, указанный в иске страхователя, компенсируется страхующей организацией, будем всюду далее отождествлять понятия величины иска и величины выплаты. Суммарный иск здесь представляется как сумма заранее известного числа одиночных исков. Если одиночный иск с номером i представляется случайной величиной, то суммарный иск будет равен

В моделях индивидуального риска изучается поведение случайной суммы S.

Сначала рассмотрим простейший случай. Случайная величина X представляется в виде произведения

(1)

где I – индикаторная случайная величина, принимающая значение, равное 1 в том и только в том случае, если иск предъявляется, и 0 в противном случае, а B – случайный размер предъявленного иска. Относительно случайной величины I в (1) таким образом предполагается, что Рассмотрим пример.

В краткосрочном страховании жизни вероятность смерти застрахованного лица в результате несчастного случая равна 0.003, а в результате других причин – 0.002. При этом величина страхового возмещения равна 10000 при смерти от несчастного случая и 5000 при смерти от других причин. Это означает, что

откуда и распределение случайной величины B определяется как

Это означает, что в данном случае нетто-премия, равная среднему ущербу, равна 40.

Рассмотрим другой, более сложный пример. При страховании автомобилей известно, что иск предъявляется с вероятностью Функция распределения задается как

Следовательно, плотность распределения величины иска задается условиями

Приведенные соотношения показывают, что выплаты страховщика ограничены лимитом ответственности, равным 2000.

Из соотношения

следует, что значение F(x) функции распределения случайной величины X равно

При этом вероятности Кроме того,

Моменты случайной величины X в таком случае вычисляются по формуле

В частности,

В дальнейшем нам понадобятся известные из теории вероятностей следующий соотношения для случайных величин X,Y:

(2)

Из этих соотношений следует, что если известны среднее и дисперсия предъявляемых исков, то есть известны

то в силу равенств

справедливы отношения

Отсюда поулчаем, что

Заметим, что в последнем примере мы могли бы вычислять среднее и дисперсию случайной величины Х, исходя из полученных соотношений, так как

откуда вычисляется Теперь

Полученные формулы для вычисления среднего и дисперсии случайной величины Х по заданному распределению ущерба позволяют вычислить аналогичные характеристики для суммы S суммарного ущерба. Представление случайной величины Х в виду произведения IB может быть далее обобщено. Например, для страхования жизни величина иска может быть представлена как IJB, где индикаторная случайная величина I равна 1 в том и только в том случае, когда смерть застрахованного наступила в результате несчастного случая, при этом значение J равно 1 в том случае, когда несчастные случай произошел при исполнение служебных обязанностей.

Дата добавления: 2014-01-07