Второе обобщение модели Лундберга

Момент

Первое обобщение модели Лундберга. Вывод неравенства.

Рассмотрим модель страхования, в которой поступления исков и страховых взносов суть обобщенные пуассоновские процессы.

Пусть текущий капитал страховой компании описывается случайным процессом

где - начальный капитал компании;

- «доход» страховой компании в момент времени Тут

- - суммарный страховой взнос; - цена страхового полиса – го клиента; - число застраховавшихся в течение времени; - общие страховые выплаты; - число исков к страховой компании, поступивших за время; - величина – го иска.

Пусть и - независимые пуассоновские процессы с интенсивностью и соответственно,, - независимые между собой и от случайных процессов, последовательности случайных величин.

Допустим - последовательность независимых, одинаково распределенных случайных величин с функцией распределения (), имеющая числовые характеристики а последовательность независимых, одинаково распределенных случайных величин с функцией распределения () имеет числовые характеристики

Процесс обладает следующими свойствами:

1.;

2. имеет стационарные и независимые приращения, так как и - процессы Пуассона;

3.;

4. существует такое число и функция, определенная при, что при.

Действительно,

где

Итак, свойство 4 верно для функции.

назовем временем разорения и положим

,

тогда - мартингал относительно семейства - алгебр, поскольку

Далее будет использоваться следующий результат.

Утверждение. Пусть - ограниченный марковский момент, то есть, и - непрерывный справа мартингал относительно семейства - алгебр, тогда

где

Зафиксируем - неслучайный момент и рассмотрим ограниченный марковский момент. Поскольку - тривиальная - алгебра и, используя утверждение, получаем

Отсюда получаем

.

Устремляя к, получаем

.

При этом левая часть не зависит от Выберем так, чтобы правая часть не была минимальной. Обозначим оптимальное значение через, то есть

,

- это положительное решение неравенства

.

Таким образом, получаем «неравенство Лундберга»

.

Платежеспособность страховой компании. Пусть, как и ранее, на стохастическом базисе удовлетворяющем обычным условиям, заданы следующие объекты: пуассоновский процесс с интенсивностью и независимая от последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин с функцией распределения Пусть также на данном вероятностном пространстве заданы также пуассоновский процесс с интенсивностью и независимая от последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин с функцией распределения

Тогда капитал страховой компании эволюционирует согласно уравнению:

(1)

Согласно актуарной традиции, в качестве меры платежеспособности страховой компании выбирается вероятность неразорения,

,

и исследование вероятностей неразорения на бесконечном и конечном промежутках

,

Стремление страховой компании к увеличению своего капитала накладывает условие положительности дохода, которое имеет вид

Для модели Крамера-Лундберга со стохастическими премиями приведем экспоненциальные оценки вероятностей неразорения и найдем точные формулы для

Теорема 1. Вероятность неразорения удовлетворяет интегральному уравнению

(2)

Если - положительное решение характеристического уравнения

(3)

то - мартингал и, где

Доказательство. Справедливость интегрального уравнения (2) следует из формулы полной вероятности. В течение малого промежутка времени возможны следующие несовместные события:

отсутствие скачков, как у процесса, так и у процесса, с вероятностью

один скачок процесса и отсутствие скачков, с вероятностью

один скачок процесса и отсутствие скачков, с вероятностью

одновременные скачки, или более одного скачка любого из процессов, с вероятностью

Тогда можем записать

что после деления на и предельного перехода при дает первое утверждение теоремы.

Далее, если - решение характеристического уравнения (2), то из стационарности и независимости приращений имеем для

Используя независимость премий и суммарных исков, вычислим

Момент разорения для согласованного непрерывного справа, имеющего пределы слева процесса - марковский, поэтому для всякого фиксированного имеем, что - ограниченный марковский момент и для мартингала:

откуда. Здесь использованы положительность и неравенство для

Теорема 2. Справедливы следующие утверждения

(1) Если то

(2) Если то

Доказательство. (1) Условие положительности дохода Характеристическое уравнение имеет вид

или

откуда или 1. По теореме 1 имеем Равенство очевидно. Для целых интегральное уравнение (2) переходит в разностное:

(4)

откуда Константу найдем при подстановке в уравнение (4)

(2) Условие положительности дохода Характеристическое уравнение имеет вид:

откуда или 0. По теореме 1 имеем

Интегральное уравнение для имеет вид

(5)

Т.к.

и

То, дифференцируя уравнение (5) имеем

(6)

(7)

Правая часть (5) умноженная на, в сумме с правой частью уравнения (6), умноженной на, дает правую часть уравнения (7). Тогда получим:

(8)

откуда Константу найдем при подстановке в уравнение (5)

Теорема 3. Вероятность неразорения на конечном промежутке удовлетворяет интегро-дифференциальному уравнению

В случае данное уравнение может быть сведено к уравнению в частных производных, причем где

(10)

(11)

Доказательство. По аналогии с предыдущими доказательствами для малого промежутка времени имеем

откуда и следует интегро-дифференциальное уравнение. Для экспоненциальных распределений премий и исков будем иметь

(12)

Дифференцируя по u, получим:

Дифференцируя еще раз по u, получим:

(14)

Правая часть (12) умноженная на, в сумме с правой частью уравнения (13), умноженной на, дает правую часть уравнения (14). Тогда получим:

(15)

Для решения полученного уравнения введем вспомогательную функцию и отметим для нее следующие факты:

Умножим уравнение (15) на и проинтегрируем затем по от до. Получим обыкновенное дифференциальное уравнение

(16)

Решая это уравнение, получим:

Параметр находится из уравнения (12) при

(17)

И имеет вид (11).

Замечание. Из второй части доказательства теоремы 3 следует, что

Что согласуется с явной формулой для из теоремы 2.

Дата добавления: 2014-01-07