Динамические модели, описываемые стохастическими дифференциалами

Рассмотрим процесс риска

,

где - независимые одинаково распределенные случайные величины с, величины страховых полисов;

- независимые одинаково распределенные случайные величины с иски к страховой компании;

- пуассоновский процесс с интенсивностью 1, то есть, действительно

Определение. Пусть - не зависящий от случайный процесс с неубывающими почти наверное конечными непрерывными справа траекториями, выходящими из нуля. Процесс Кокса (называемый также дважды стохастическим пуассоновским процессом) определяется как,

Мы будем предполагать, что процесс не зависит не только от, но и от последовательности.

Условимся в дальнейшем называть процесс обобщенным процессом риска, порожденным последовательностью и управляющим процессом.

Мы будем искать оценку вероятности итогового разорения в статической модели, то есть величины, характеризующую скорость убывания этой вероятности в зависимости от и.

Каким бы ни было

(1)

Воспользуемся следующим аналогом неравенства Бернштейна для пуассоновских случайных сумм.

Лемма. Пусть с вероятность единица тогда для любого

.

Считая впредь, что величины взносов равномерно ограничены, т.е. продолжив (1) с учетом требования положительности в лемме, получим:

где

(2)

Положим в (2) и обозначим

.

Тогда из (2) вытекает следующий результат.

Теорема. Если то

. (3)

Исходя из принципа неразорения в среднем, будем считать, что тогда из (3) следует для любого.

ТЕМА 4. ПРИЛОЖЕНИЯ СТОХАСТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ К ЗАДАЧАМ СТРАХОВАНИЯ

Пусть процесс поступления исков выглядит следующим образом:

y

:

:

:

*:

:

:

:

*:

:

*:

0 t

на временной оси отмечены моменты поступления исков (первый иск поступил в момент времени, второй - в момент времени и т.д.).

На оси будем откладывать величины исков. Пусть - уровень (франшиза), соответственно иски, величины которых будут меньше, чем не будут рассматриваться. Уровень - ограничивает величину иска (отметим, что нетрудно рассмотреть и случай).

Пусть

- некоторое разбиение отрезка. Пусть - число исков, которые поступили за промежуток времени от до и величины которых находились в пределах от до, тогда - число всех исков, поступивших за время от до, величины которых находились в пределах от до.

Пусть - некоторая средняя точка, тогда - средний суммарный иск к компании, от поступивших требований на промежутке от до, величины исков которых находились в пределах от до. Разобьем отрезок точками тогда величина

приблизительно равна суммарной величине исков, поступивших за время от до, величины которых находились в пределах от до.

Величина

,

близка при больших “ ” к суммарной величине всех исков, поступивших в страховую компанию за время от 0 до. Переходя к пределу при, получим, что суммарная величина исков к компании, которые будут приняты к рассмотрению (величина иска не меньше, чем) равна

Заметим, что если иск величины “ ”, то он может быть лишь частично удовлетворен, например, будет выплачена сумма, величина иска может быть также трансформирована при помощи некоторой функции, зависящей от времени, например, будет произведено дисконтирование

В этом случае капитализированная стоимость потока исков, очевидно, будет равна величине

В последнем легко убедиться, повторив предыдущие рассуждения с дисконтированием.

В общем случае имеет смысл рассматривать преобразование величины иска “ ” вида. В этом случае суммарный результат от такого преобразования потока исков будет равен

Проанализируем свойства функции:

1) при каждом фиксированном - это мера (случайная мера) отрезка;

2) для фиксированного отрезка - это неубывающая функция, действительно, очевидно, что

если;

3)

4) для непересекающихся отрезков

;

5) Если - поток s - алгебр, порожденный процессом поступления исков на, то - измерима;

6) для любого - целочисленная мера.

В силу известных теорем Мейера справедливо, причем единственное, представление

где - монотонно неубывающий интегрируемый предсказуемый процесс, компенсатор меры а - мартингальная мера, то есть при фиксированном:

В полученном разложении меры функция играет двойную роль. С одной стороны, разность - является мартингалом, с другой стороны функция является характеристикой (напомним, будет характеристикой мартингала, если опять будет мартингалом, в общем случае мера - случайная). Это обстоятельство является весьма важным обобщением элементарного факта: математическое ожидание и дисперсия пуассоновского процесса совпадают. Если выполнены перечисленные свойства, то мартингальная мера называется ортогональной. В дальнейшем мы будем рассматривать только ортогональные меры. Если процесс поступления требований будет процессом с независимыми приращениями (это будет, если число поступивших требований на промежутке и величины исков этих требований не будут зависеть от того, что будет в дальнейшем, а также не будет зависеть от того, что было раньше на), то мера будет пуассоновской, то есть

,

В данном случае

Это следует из того, что в силу единственности разложения Мейера

и того, что в случае процесса с независимыми приращениями

также является мартингалом, то есть мера обязана быть равной математическому ожиданию. Отметим, что мера равная среднему числу исков к компании, поступивших за время от до, величины которых находились во множестве неоднородна во времени, примером этого может быть различная интенсивность аварий для различного времени года (зимний период, летний и т.д.). Пусть - поток денежных средств поступивших в страховую компанию за период от до, может быть и случайной функцией времени, - собственные средства компании, тогда доход за вычетом страховых выплат будет описываться процессом.

Построим экспоненциальную оценку для вероятности разорения компании. Очевидно, что разорение наступит, если при каком – либо, тогда

- здесь случайный процесс имеет вид:

,

Пусть поток - алгебр, порожденный процессом Нетрудно убедиться в том, что случайный процесс будет мартингалом относительно потока. Для этого достаточно применить обобщённую формулу Ито к функции. Действительно, если

то для по этой формуле имеем:

Таким образом, в нашем случае

Заметим, что при интегрировании последнего члена в этой формуле получили стохастический интеграл по мартингальной мере.

Как известно условное математическое ожидание такого интеграла равна нулю, то есть

,

то есть

- это свойство будет использовано в дальнейшем.

Если потребовать, чтобы

, так как

с вероятностью 1, то применив неравенство Колмогорова, мы получим

Таким образом, вероятность разорения страховой компании в случае, если собственный капитал ее был равен “ ”, а поступления происходят как

не больше, чем, отсюда также следует, что, если

то вероятность разорения компании не превосходит.

Заметим, что в общем случае мера - случайная, таким образом, соотношение

должно выполняться с вероятностью 1.

Дата добавления: 2014-01-07