Модель Кларка. Описание модели и проверка на безарбитражность

ТЕМА 5. НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ МОДЕЛИ КЛАРКА

Несмотря на необычайную популярность модели Самуэльсона:

, (1)

которая описывает эволюцию цены рискового актива (акции), где -стандартный винеровский процесс, все же, исходя из задач практики, во-первых вряд ли можно предполагать непрерывность случайных воздействий на цену акции, во-вторых вряд ли можно предполагать нормальность логарифма приращений! Если первый факт не вызывает сомнений - цена акции меняется скачками, то второму факту следует уделить особое внимание.

В модели (1) «основным» процессом является винеровский процесс, приращения которого имеют нормальное распределение. Вместе с тем замечено, что на интервалах времени сравнительно небольшой длины (до 2-3 недель) приращения отличны от нормальных. Первые работы, в которых отмечено это явление, появились ещё в 1915 году. Результаты очень серьёзного статистического анализа, подтверждающего отличие упомянутых распределений от нормального, были опубликованы М.Кендаллом в 1953 году. Оказалось, что отмеченный феномен является всеобщим: ненормальность приращений проявляется на всех биржах независимо от объекта торговли! Отмеченная ненормальность приращений проявлялась в том, что в действительности наблюдалось заметно больше очень больших и очень маленьких по абсолютной величине приращений, нежели их должно быть в соответствии с нормальным распределением. Другими словами, наблюдаемые распределения приращений биржевых цен на интервалах времени умеренной длины являются более островершинными, нежели нормальные, имея заметно более тяжёлые хвосты. Стоит отметить, что подобными свойствами обладают распределения, эксцесс которых положителен! Поэтому винеровские процессы оказались отнюдь не бесспорными для построения моделей динамики биржевых цен!

Вместо «основного» винеровского процесса П.Кларк предложил для описания биржевых цен использовать модель с «основным» процессом, то есть в качестве «основного» П.Кларк предложил взять подчинённый винеровский процесс, где -стандартный винеровский процесс, а - процесс с неубывающими траекториями, начинающимися в нуле. Если в качестве взять процесс Пуассона с параметром, независящий от, то величина будет иметь положительный эксцесс. Действительно,

тогда - коэффициент эксцесса будет равен

, (2)

что означает большую, чем у нормального «островершинность» распределения. Из (2), в частности, следует, что с ростом времени коэффициент эксцесса убывает, а наибольшая «островершинность» наблюдается при малых!

Таким образом предложенная П.Кларком эволюции цены рискового актива модель

больше соответствует реальным данным, чем модель П.Самуэльсона. Далее в качестве модели, описывающей цену акции везде в дальнейшем будет взята модель

(3).

Как будет показано ниже модель (3) отличается от модели П.Кларка тем, что параметр как и в модели П.Самуельсона (1) имеет смысл локальной доходности.

Безарбитражность модели Кларка

Если в качестве взят процесс Пуассона с параметром, независящий от, то процесс очевидно допускает представление

(4)

где – независимые - распределённые величины. В силу того, что для сложного процесса Пуассона справедливо представление

(5)

в виде стохастического интеграла по пуассоновской мере, в данном случае

(6)

Далее, у существует экспоненциальный момент

,

пусть

,

так как

а

то введём процесс

,

тогда процесс, описывающий эволюцию цены акции (3) примет вид

(7)

Из (7) воспользовавшись обобщённой формулой Ито, имеем

(8)

откуда имеем

то есть - средняя локальная доходность рискового актива (акции).

Нетрудно заметить, что по исходной мере процесс будет мартингалом лишь при то есть безарбитражность (3) модели будет иметь место лишь при нулевой доходности, что вполне естественно, но не соответствует реальности, так как теряется смысл в использовании такого актива! Вместе с тем хорошо известно, что для безарбитражности достаточно показать мартингальность процесса эволюции цены рискового актива по некоторой мере, которая эквивалентна исходной мере!

Найдем плотность перехода от меры к мере, по которой будет мартингалом. Если такая плотность существует, то модель (3) безарбитражна. Плотность должна удовлетворять следующим условиям:

- мартингал, т.е.

При подстановке в обобщенную формулу Байеса] должно выполняться соотношение

.

Плотность ищем в виде.

Воспользовавшись обобщённой формулой Ито нетрудно убедиться в том, что если имеет вид

,

где - та же центрированная мера, что и в процессе, то процесс будет мартингалом.

Используя обобщенную формулу Байеса получим уравнение

или

.

Обозначим, тогда, т.е. процесс должен быть мартингалом.

Далее, если

то опять применив формулу Ито, получим

Для того, чтобы процесс был мартингалом, достаточно взять в место корень уравнения

(8)

которое равносильно уравнению

(9)

Нарисовав функции, нетрудно заметить, что уравнение (9) всегда имеет единственный корень Тогда процесс примет конкретный вид

, (10)

эквивалентная мере мера будет определена, а процесс будет мартингалом по этой мере. Безарбитражность модели (3) установлена.

Оценка вероятности не разорения страховой компании, работающей на (b, s)- рынке

Если инвестор вкладывает имеющиеся средства как в рисковые активы (например, в акции) так и в безрисковые (например, на банковский счёт), то говорят, что он оперирует на (B, S)-рынке. В данном параграфе в качестве инвестора будет выступать страховая кампания. Везде в дальнейшем будем предполагать, что величина банковского счёта меняется по закону

– начальная величина счёта. Цена рискового актива (акции) пусть описывается процессом (3).В данной параграфе будет рассмотрена следующая задача. Инвестор – страховая компания, начальный капитал которой равен, свой капитал на момент времени делит следующим способом: долю отводит на покупку акций, оставшуюся долю отводит на то, чтобы положить средства на банковский счёт. Тогда в денежном отношении это будет соответственно величины и. Если в момент времени акция стоила, то на сумму можно будет купить акций и положить на банковский счет. Тогда к моменту времени на банковском счёте будет

, (11)

каждая акция согласно модели (3) будет стоить

. (12)

Таким образом, на момент времени от нашей инвестиционной деятельности на (B, S)-рынке мы за счёт пакета акций будем иметь сумму

(13)

и сумму за счёт банковских вложений. Далее, будем предполагать, что скорость поступления премий в страховую компанию постоянна и равна. Суммарный иск к страховой компании за время от до описывается сложным пуассоновским процессом и равен

, (14)

где – стандартный процесс Пуассона с параметром, -независимые неотрицательные одинаково распределённые случайные величины, не зависящие от, описывают величины исков к страховой компании принимают значения во множестве B, функция распределения которых Хорошо известно, что величину можно представить в виде стохастического интеграла по пуассоновской мере, а именно, имеет место представление

, (15)

где – пуассоновская мера, такая, что

(16)

- здесь, то есть. Везде в дальнейшем будем предполагать независимыми меры и процеccа.

Учитывая (11), (13),(15) получим

(17)

где.

Из (17) имеем балансовое уравнение

. (18)

Поставлена следующая задача: найти управление, такое, чтобы вероятность неразорения страховой компании за бесконечное время была оценена величиной, которая стремится к единице при стремлении начального капитала к бесконечности и эта оценка должна быть наименьшей по.

Будем искать решение (18) следующим образом. Пусть

, (19)

где

, (20)

где будет соответствующим образом подобрана.

Воспользовавшись формулой дифференцирования произведения, получим

(21)

если

(22)

Взяв из (22) имеем из (20) уравнение

(23)

а

(24)

Таким образом

(25)

Формулу (25) можно записать в следующем виде. Так как

,

то, вводя центрированную мартингальную меру

,

будем иметь

, (26)

где.

Из (23) следует

(27)

Из (27) следует

(28)

Откуда

(29)

Пусть

(30)

Из (30) имеем

(31)

Тогда: 1) если для взятого имеем, то существует точка такая, что и, следовательно, является точкой максимума для функции на промежутке;2) если для взятого имеем и то опять существует точка такая, что и, следовательно, является точкой максимума для функции на промежутке;3) если корень уравнения такой, что, то

Пусть

, (32)

тогда из (29) и (32) следует, что

. (33)

Пусть

,

где

,

-здесь -пуассоновская мера со средним.

В дальнейшем нам понадобится следующий результат

Теорема. Пусть, если для какого -то целого

то имеет место неравенство

(34)

- здесь

Продолжим рассуждения. Нетрудно убедиться в том, что решением (23) является процесс

(35)

из (35) следует, что процесс с вероятностью 1 и имеет место оценка (33).

Далее, при, в силу положительности процесса, воспользовавшись неравенством (34), имеем

(36)

В силу того, что имеет место вложение

,

имеем последовательность множеств, которые сужаются. Такая последовательность имеет предел: и справедлив предельный переход

.

Переходя к пределу из (36) имеем

(37)

Полученный результат сформулируем в виде теоремы.

Теорема 1. Пусть - начальный капитал страховой компании, которая функционирует на -рынке, на котором эволюция рискового актива описывается соотношением (3). Пусть действующая процентная ставка, суммарные иски к страховой компании описываются сложным процессом Пуассона (15), где - интенсивность стандартного процесса Пуассона, который описывает число исков, которые пришли к страховой компании за время,, (- независимы между собой и от, одинаково распределенные величины исков, имеют конечные моменты,, тогда если такая, что то если денег вкладываются в акции, а остаток на банковский счет, тогда для вероятности неразорения страховой компании справедлива оценка

(38)

Рассмотрим численный пример. Сравним вероятности неразорения при и, т.е. рассмотрим два случая: 1) компания работает на (B,S) - рынке, т.е. денег вкладываются в акции, а остаток на банковский счет; 2) компания все средства вкладывает в банк. Из теоремы легко видеть, что чем меньше числитель в (38)

(39)

тем больше вероятность неразорения. Поэтому, пусть, например, тогда воспользовавшись пакетом Maple, получим 1) 2) Подставим полученные значения в (39), получим

Откуда, получаем, что где - числитель и оценка вероятности неразорения для -го случая соответственно. Следовательно, при оптимальном управлении, компания, работающая на полном (B.S) – рынке (вложения как в рисковые так и в безрисковые активы), имеет вероятность неразорения большую, чем компания, которая вкладывает все средства только в безрисковые активы.

Дата добавления: 2014-01-07