Граница числовых множеств

Определение 1. Число называется верхней(нижней) границей множества A, если для любого элемента выполняется .

Определение 2. Множество называется ограниченным сверху(снизу), если оно имеет верхнюю(нижнюю) границу. Множество называется ограниченным, если оно ограничено и сверху и снизу.

Определение 3. Наименьшее из верхних границ числового множества называется супремумом множества A (sup A). Наибольшее из нижних границ числового множества A называется инфимуом(inf A).Супремум и инфиум называют так же точный верхний и точный нижней границами множества. Они являются обобщением наибольшего и наименьшего элемента.

Свойства точных границ числового множества:

Свойство 1. Критерии sup и inf. Для того чтобы b было точной верхней(нижней) границей числового множества А необходимо и достаточно, чтобы:

1)число b было верхней(нижней) границей числового множества А.

2)

Свойство 2. Основная теорема теории вещественных чисел: всякое ограниченное сверху (снизу) множество А имеет точную верхнюю(нижнюю) границу ().

Свойство 3. Для любого непустого множества А выполняется inf A<sup A.

Дата добавления: 2014-01-06