Основные элементарные функции

Композиция функции.

Пусть имеем 2 функции , . Обозначим новую функцию, которая любому значению будет сопоставлять значения таким образом (- сопоставление по правилу ). Такую функцию называют композицией функции

Пример:

1. Постоянна y=const-C;

2. Степенная функция , :

а) n=0, D=\{0};

б) n; D=;

в)

n=>0;

г) n – иррац.; D=[0;+∞);

е) n – отрицательное; =\{0}.

Вид графиков функции y= при различных целых значениях n различен:

- при четных n функции четные;

- при нечетных n – нечетные.

Чем больше n по значению, тем ближе к оси абсцисс лежат соответствующие графики в интервале (0;1) и тем круче вверх они поднимаются при приближении к 1.

3. Показательная функция y=, a≠1, a>0

D=

0<a<1 – убывающая функция;

a>1 – возрастающая функция;

при a=e y=– экспонентная функция, е≈2,71828…

4. Логарифмическая функция.

y= – функция, обратная показательной

а>0, a≠1;

D=(0;+∞).

5. Тригонометрические функции.

а) y=sinx; D=; E=[-1;1]; T=2π;

б) y=cosx; D=; E=[-1;1]; T=2π;

в) y=tgx; D=(+πn;+πn); T=π;

г) y=ctgx; D=(πn;π+πn); T=π.

6. Обратные тригонометрические функции.

а) y=arcsinx

Разобьем всю область определения функции y=sinx на интервалы монотонности:

[;]; [;]; [;].

В качестве основного выберем промежуток [;] и обозначим обратную функцию y=arcsinx. Значение функции arcsinx – радианная мера угла, синус которого равен данному значению аргумента x. Из всех углов, удовлетворяющи х условию,выбирается угол, заключенный в промежуток[;].

y=arcsinx – однозначная функция.

Образуя в каждом из интервалов монотонности соответствующую обратную функцию, получим бесконечно много однозначных ветвей. Всю совокупность этих ветвей обозначают y=Arcsinx – бесконечнозначная функция.

б) y=arccosx; x€[-1;1];

y€[0;π];

в) y=arctgx; x€(-∞;+∞);

y€[;];

г) y=arcctgx; x€(-∞;+∞);

y€[0;π]

§2.6. Классификация функций.

Функции подразделяются на:

1. Однозначные и многозначные;

2. Явные и неявные;

3. Элементарные и неэлементарные.

Элементарные функции – функции, которые получаются из основных элементов с помощью конечного числа последовательно-выполненных арифметических операций и композиций.

Неэлементарные функции – функции, которые нельзя выразить формулой.

S=1,2,3…n, т.к. её нельзя выразить с помощью конечного числа последовательно-выполненных арифметических операций и композиций.

S=1+2+3+…+n=

В классе элементарных функций выделяют:

1. Алгебраические функции:

а) Рациональные функции. Получены с помощью арифметических операций +,-,*;

б) Дробно-рациональные функции. При их образовании участвуют +,-,*,/;

в) Иррациональные функции. Добавляется .

2. Трансцендентными называются все элементарные функции, не являющиеся алгебраическими.

sin, cos, log, ln…

Лекция №3.

Дата добавления: 2014-01-06